[微積] 幾個弧長公式、面積公式的類比

看板Math作者kane950544 (老伯公)時間13年前 (2011/06/15 10:34)推噓1(1推 0噓 3→)

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以前第一次念到旋轉體體積的時候發現繞x軸的旋轉體體積的公式為 V=∫(pi)*f(x)^2 dx 然後很自以為是的用類比寫出弧長公式 S=∫2*(pi)*f(x) dx 但結果應該是 S=∫2*(pi)*f(x) ds=∫2*(pi)*f(x)*[1+f'(x)^2]^0.5 dx 才對這我現在了解原因了只是目前我又遇到類似的問題了極座標圖形的面積公式 A=0.5∫r(θ)^2 dθ 我自己亂類比出弧長S=∫r(θ) dθ 這個結果是錯的應該要利用全微分做出 (x')^2+(y')^2=r^2+(dr/dθ)^2 再代到參數那個公式裡面不過我還是覺得S=∫r(θ) dθ很直覺阿~ = ="" 面積公式是利用小塊小塊的面積元素 dA=0.5*r^2 dθ 不能利用小段小段的弧長元素 ds= rdθ 嗎哪裡出問題了呢 -------------------------------------------------- 實際例子: r=1+cosθ ,0<=θ<=2(pi) 2(pi) S=∫[r^2+(r')^2]^0.5 dθ 0 =8 如果用∫r(θ) dθ算 2(pi) S=∫r(θ) dθ = 2 0 不一樣 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.24.175.47

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