Re: [積分] 線積分兩題
※ 引述《tranquilitys (open)》之銘言：
: 1.
: 求線積分
: √x 2
: ∮( 4 + e ) dx + ( siny + 3x ) dy
: c
: 其中C分別為半徑a,b的同心圓(a<b) 在第一象限所圍的邊界
利用 Green's Theorem
σN σM
∮Mdx + Ndy = ∫∫--- - --- dxdy
σX σy
其中面積分之區域為原本封閉曲線所圍繞之面積
原式 = ∫∫6x dxdy
令 x = rcosθ、y = rsinθ
π
---
2 b
原式 = ∫ ∫ 6rcosθ rdrdθ
0 a
π
｜--- 3｜b 3 3
= sinθ｜ 2 * 2r ｜ = 2(b - a )
｜ ｜a
0
: 2. -y x
: 假設F(x,y)定義為F(x,y) = (─── , ───)
: 2 2 2 2
: x + y x + y
: C為平面上任意包含原點的平滑封閉曲線
: 試證明∮F(x,y)‧dr = 2π
: c
: ==============
: 這是高普考的題目
: 因為我對線積分的基本定義跟相關定理的理解...可以說是相當薄弱
: 不知道願意幫我解答的板友們能否解得不要太快 我會非常感謝的><
封閉曲線包含奇點原點
因此不可使用 Green's Theorem
∮ F(x,y)‧dr
c
-y x
= ∮ -----------dx + -----------dy
c x^2 + y^2 x^2 + y^2
xdy - ydx
= ∮ -----------
c x^2 + y^2
-1 y
= ∮ d(tan ---)
c x
-1 y -1 y
= tan --- @ 點B - tan --- @點A
x x
= 逆時針繞一圈的角度 - 原本的角度
(只用單一平面看是同一個點，實際上已經繞了一圈到下一個平面上)
= 2π
--
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◆ From: 114.34.133.34
推
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06/08 12:57, , 3F
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