Re: [線代] eigenvalue eigenvector & projection …
※ 引述《superconan (超級柯南)》之銘言：
: What are the eigenvalues and eigenvectors of a projection ? A reflection ?
: 目前我知道投影矩陣 P = A(A^TA)^(-1)A^T 且 P^2 = P
: Let t is an eigenvalue of P and v is an eigenvector of P, then Pv = tv. — (1)
: Pv = P^2v = P(Pv) = P(tv) = t(Pv) = t(tv) = t^2v. — (2)
: By (1), (2) => t^2 = t => t^2 - t = 0 => t(t-1) = 0 => t = 0, 1
: 其他的就不知道怎麼求了
: 麻煩高手解惑，謝謝～
從直觀來看（假設P=A(A^TA)^(-1)A^T，且A是full-column rank)
Projection matrix P會把跟空間上的向量投影到A的column
space C(A), 兩種向量經過投影後方向不變：
(1) 本來就在C(A)中，v=Ay, 則Pv=v，eigenvalue=1, eigenvector是C(A)中
的任一向量，可用C(A)的任一組basis代表。或者就是P-I的null-space。
(2) 跟C(A)正交的所有向量，投影後為零向量，故eigenvalue=0，eigenvector
是A^T之null-space N(A^T)中的任一向量，即P之null-space中的任一向量。
Reflection matrix應也可由以上觀點推得，只是eigenvalue變為1與-1，
以上謹供參考，若有錯請更正，謝謝。
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推
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