[機統] 繩子任意切成三段最長段期望值

看板Math作者outshaker (out)時間14年前 (2011/05/19 00:09)推噓2(2推 0噓 5→)

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這是以前資工上機率統計課時，教授說這題解出來就直接pass的題目。以下是解題過程定義問題：長度為1的繩子任意切兩刀，最長段繩子的期望值。繩子可視為連續點構成的線段，切出的繩長可以為零。分析：先簡化問題，變成切一刀的情形最長可能為1，最短可能為1/2，分佈機率是均等的。故切一刀的期望值是(最長+最短)/2 = 3/4 如果切在長度為L的繩子，最長段的期望值是(3/4)L 把原來的問題轉換成「任意切一刀之後再切第二刀」的情形討論。令第一刀所切位置為x，產生兩段長度分別為x和1-x的繩子。令第二刀所切位置介於x和1之間，也就是1-x的繩子上。這部份是為了討論方便，第二刀落在0和x之間的情況，會對應到第一刀落在1-x位置的情形。所以這樣的假定可以考慮到全部的情形。另外，切第一刀後，位置0到x這段繩子稱為X段。而第二刀切下所產生的兩段繩子中最長段的長度為y，稱為Y段。以下分成三種情況： 1. x介於0和1/3：這種情況，Y段的最小值為(1/2)*(1-x) Y？X → (1/2)*(1-x)？x → 1-x？2x → 1？3x → 1＞3x，必定大於X段。是故，這種情況可以只看Y段的期望值，所以是(3/4)*(1-x)。 2. x介於1/2和1：這種情況，Y段的最大值為1*(1-x) Y？X → 1-x？x → 1？2x → 1＜2x，必定小於X段。是故，這種情況可以只看X段，所以是x。 3. x介於1/3和1/2：這種情況，Y段和X段，要討論更細微。若Y段要大於X段，則必須 (□為Y段佔(1-x)多少比例，□正常範圍介於1/2和1之間) Y＞X → □(1-x)＞x → □＞x/(1-x) 所以只要□大於x/(1-x)最長段就是Y段，反之則是X段。令p=x/(1-x) 因為□是均勻分佈在1/2和1之間，所以□＞p的機率就是(1-p)/(1-1/2) ＝ 2(1-p) □＜p的機率就是2p-1。（□＝p的機率趨近為0，可以忽略端點，只看累積的量）採計Y段的話就要看期望值，Y段的範圍介於x到1-x之間因為機率分佈平均，所以期望值是1/2。所以合併起來，採計Y段的機率是2(1-p)，對應到的值是1/2 採計X段的機率是2p-1，對應到的值是x 寫成等式為2(1-p)*(1/2)+(2p-1)*x經過有點繁雜的化簡之後得到-3x+1/(1-x) 因為有點複雜，還是附上示意圖(http://ppt.cc/T-29)做參照之用。我最後是把這三種情況用積分累加起來 From 0 to 1/3, ∫(3/4)*(1-x)dx = 5/24 From 1/3 to 1/2, ∫-3x+1/(1-x)dx = ln 4/3 - 5/24 From 1/2 to 1, ∫x dx = 3/8 總和是 ln 4/3+3/8 ≒ 0.662682072 跟我用程式的隨機數字去測的結果是相近的一開始用直覺猜是2/3（最長1，最短1/3的中間值）可是因為機率分佈不確定是否為平均分佈。再加上後來求解去比對，發現還是有些微差異。原本是想如果機率分佈是均勻的話，可以一路往下推變成切n刀的通解。不過算到這裡就知道沒希望了，還是免不了要分開討論的情形… 跟這問題奮鬥的時間很長，最近又卯起來把它算了出來，連ln都出現了我想應該也不算簡單的題目，不知道有沒有人要挑戰切三刀的… -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.115.213.250

推

LimSinE

05/19 07:57, , 1^F

05/19 07:57, 1^F

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simonjen

05/19 10:47, , 2^F

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推

hectorhsu

05/19 11:16, , 3^F

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