Re: [中學] 求最大最小值
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 已知 0≦a,b≦1
: a b
: 求 -----+ ----- +(1-b)(1-a) 的最大最小值
: 1+b 1+a
K= [a(1+a)+b(1+b)+(1-b^2)(1-a^2)]/[(1+b)(1+a)]
=(a+a^2+b+b^2+1-a^2-b^2+(ab)^2)/[(1+b)(1+a)]
=(a+b+1+(ab)^2)/(1+a+b+ab)
因為 (ab)^2≦ab
故 K≦1 等號在a=b=1 或 a=0 或 b=0 時成立
不妨設 a≧b
K=1-[ab(1-ab)]/(1+a+b+ab)
在 ab=q^2固定下 a+b 有極小值時 K 有極小值
即 a=b=q
則 K(q)=2q/(1+q)+(1-q)^2
K'(q)=2/(1+q)-2q/(1+q)^2+2(q-1)=0
1+q-q+(q-1)(1+q)^2=0
(q-1)(q+1)^2+1=0
q^3+q^2-q=0
q(q^2+q-1)=0, q=(-1+√5)/2
q(1+q)=1
K(q)=2q^2+(1-q)^2=3q^2-2q+1
=3(q^2+q-1)-5q+4=5/2-5√5/2+4=13/2-5√5/2
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