Re: [代數] Ploynomial ring
※ 引述《recorriendo (孟新)》之銘言：
: Let A denote the ring Z[x]/(x^3+x+1). Determine which of the ideals
: (2), (3), (5), (7) are prime in A.
: 我試出 (3) 不是prime ideal
: 其他的想不到
: 應該有一個統一的方法
: 希望版上強者能幫我解一下
首先已知 x^3+x+1 is irreducible in Z[x]/(2)
令 J=(x^3+x+1) I=(2)
已知 x^3+x+1 is irreducible in Z[x]/(2) (PID)
=> (x^3+x+1) is a maximal ideal in Z[x]/(2)
(z[x]/I) / (I+J/I) is a field
assume (2) is not a prime ideal in A
=> (Z[x]/J) / (I+J/J) is not a indegral domain
由第三同構定理知 上面那串 iso to Z[x]/I+J
也 iso to (Z[x]/I) / (I+J/I) (這東西是field) 矛盾
因此 (2) is a prime ideal in A
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(5) (7) 方法一樣
x^3+x+1 irreducible in Z[x]/(5)
x^3+x+1 irreducible in Z[x]/(7)
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討論串 (同標題文章)
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