Re: [線代] Singular Value Decomposition
※ 引述《Aweather (夢幻的小風)》之銘言：
: 想請教各位一個問題
: 假設 A 是 m by n 矩陣 full column rank
: B 是任意 m by p 矩陣
: 請問 A 的 SVD A=USV^H 跟 [A B] 的 SVD [A B] = U'S'V'^H 之中的
: S 跟 S' 的對角元素有沒有 S' 裡面的一定大於 S 這樣的特性呢？
: 我在書中都找不到 可是我用 MATLAB 試了幾萬組數字好像都有這樣的性質
: 有這樣的性質的話大概要怎麼證明呢？
: 謝謝啦！
Interlacing theorem
Let A be a Hermitian matrix of order n with eigenvalues
λ_1 > λ_2 > … >λ_m, and let μ_1 > μ_2 > … > μ_n be the eigenvalues
= = = = = =
of a principal submatrix of A of order n.
Then λ_i > μ_i > λ_m-n+i, for i = 1, 2, . . . , n.
= =
eigenvalues of A^HA: μ_1 > μ_2 > … > μ_n
= = =
S_ii=√μ_i
eigenvalues of [A B]^H[A B]: λ_1 > λ_2 > … >λ_n > … > λ_n+p
= = = = =
S'_ii=√λ_i
∵ A^HA is a principal submatrix of [A B]^H[A B]
∴ S'_ii=√λ_i > √μ_i ( By Interlacing theorem )
=
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推
03/09 14:10, , 1F
03/09 14:10, 1F
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