Re: [線代] Dimension and nullspace
(<=)
if A^2 = I
則 A 的特徵值只有 1 or -1
假設 1 的個數為 k 個
-1 的個數為 n-k 個
則 nullity(A+I) = n-k , nullity(A-I) = k
nullity(A+I) + nullity(A-I) = n = dim(V)
(=>)
nullity(A+I) + nullity(A-I) = n = dim(V)
所以知道 A 的特徵值可能有 1 和 -1
而且兩個對應的特徵空間 E_1 還有 E_-1 的維數加起來是 n
又知道兩個不同特徵值的所對應的特徵空間其交集為零空間
則推得 E_1 ⊕ E_2 = V
所以任何 x , Ax = x or Ax = -x 則 A^2 x = x
=> (A^2 - I)x = 0 對任何 x
=> A^2 = I
※ 引述《sm008150204 (風切羽狂)》之銘言：
: Prove that dim(Ker(A+I)) + dim(Ker(A-I)) = dim(V)
: 2
: if and only if A = I
: 沒有頭緒 希望有好心人可以提示我一下
: 感激不盡！！
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◆ From: 140.112.218.113
※ 編輯: firstshiva 來自: 140.112.218.113 (02/17 04:55)
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