Re: [中學]2011 AMC12 第25題
※ 引述《qoolinboy (LYK)》之銘言：
: 25.在三角形ABC中，角BAC=60度，角CBA<=90度，線段BC=1，且線段AC>=線段AB。
: 設H、I、O分別為三角形ABC的垂心、內心與外心。
: 試問角CBA是幾度時，五邊形BCOIH有最大的面積？
∠BHC = ∠HBA + ∠BAC + ∠HCA = 30°+ 60°+ 30°= 120°
∠BIC = (∠IBA + ∠ICA) + ∠BAC = (180°-∠BAC)/2 + ∠BAC = 120°
∠BOC = 2 ∠BAC = 120°
所以BHIOC共圓, 假設圓心為D
則△BOD和△COD是正三角形
假設現在固定BC邊, A是動點
△BOC面積跟A無關, 求BCOIH最大面積就是求BHIO最大面積
又固定BC邊則BD邊也固定了
所以也等同求BDOIH最大面積, 即最大的△BDH + △HDI + △IDO
因為BI平分∠CBA, ∠ABH = ∠OBC = 30°, 所以∠HBI = ∠IBD, HI = IO
這三個三角形面積和最大在三個都一樣的時候
可由凸函數看出來
BD^2[sin∠BDH +sin∠HDI +sin∠IDO]/2 ≦ BD^2 3sin[(∠BDH +∠HDI +∠IDO)/3]/2
又保證了HI = IO, 所以移動A使BH = HI時有面積最大
此時∠HBI = ∠IBD = ∠HIB, ∠BID = 150°, ∠HBD + ∠HID = 180°
解得∠HBI = 10°
所以∠CBA = 80°
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◆ From: 182.235.65.47
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