[分析] 多變函數的可微性

看板Math作者 (PWKJ)時間15年前 (2011/02/02 01:39), 編輯推噓1(1推 0噓 39→)
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(x^2)(y^3) f(x,y) = ------------- , if (x,y)≠(0,0) x^4 + y^4 = 0 , if (x,y)=(0,0) Is f differentiable at (0,0)? 我的想法有 1.若f不可微則f不連續，因此我想設法找出兩路徑使得f沿著路徑逼出來的值不唯一 不過乍看之下這方法好像看不出f是不連續的 2.假設f可微，則total derivative T_0(u)跟方向導數f'(0;u)會一樣 f(0+u)-f(0)-f'(0;u) 以此去出發去看極限lim --------------------- 會不會不等於0 u→0 ∥u∥ 若極限不等於0則矛盾，進而可以推得f不可微 不過試了兩個direction發現極限都等於0，所以好像又不是從這點去看 有請板友能再給我指點指點@@ 感謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.248.0.100
推
02/02 01:53, , 1F
1. f(x)=|x| 在0點可微 但連續
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在0點不可微 打錯= =
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這我知道 我問的不是這個@@ 我是問多變量函數Q_Q
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因為多變數函數可微 代表全導數存在且等於方向導數
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我都會先看連續 再寫出Df(x) 然後再用微分定義
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並且保證連續性 這題目問f可不可微我先猜想他不可微
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嗯 不過連續性這點似乎得步道f非連續
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上面我從連續性 還有方向導數、全導數 似乎都看不出
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難道真的要從存在一個線性轉換T_0(v)那邊出發嗎@@?
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你用lim(x,mx)->(0,0)看看吧 通常可以看出不可微@@
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感覺這樣好像不好做?
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我現在再做一次看看 我通常都這樣做= =a
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恩這個我第一時間就是過這路徑 看不出不連續@@
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會得到(m^3)x/(1+m^4) 但x往0逼去 因此這極限依然0
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婀 有做出來= =
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你用微分定義lim(h1,h2)->(0,0) f(h1,h2)/||h||
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接著帶h2=mh1 會發現極限不存在 這是我的拙見 囧
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因為Df(x)=(0,0) f(0,0)=0 所以我就沒寫了= =
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02/02 02:07, , 19F
||h||=((h1)^2+(h2)^2)^(1/2)
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Df(0,0)=(0,0)?? 不是應該減一個(T_0)(h)嗎@@?
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02/02 02:22, , 21F
lim ||f(x)-f(x0)-Df(x)(x-x0)||/||x-x0||=0 @@?
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x, x0 屬於 R^(n)
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對 要存在線性Df(x-x0)讓上面這個極限=0
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可是我們就是要驗證存在Df(x)(x-x0)
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說錯 要驗證存在Df(x) 讓上面的極限=0 所以Df是未知
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如果直接寫出Df(x)好像就間接默認f可微了 @@
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Df(x)=(df/dx(0,0) df/dy(0,0))
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Df(x)只是表是偏微 婀...
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要f可微 全導數才能寫成偏微的樣子 定義寫的是全導數
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不是偏微的樣子
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所以如果把定義全導數的位置改成gradient而得到極限
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=0 也不能說f在該處可微吧
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如果可以 就代表了你用了全導數=gradient 也就默認f
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可微了@@
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這樣變成你一開始就說f可微 但這是我們要證明的
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apostol高微是這樣寫的 不過或許我想法還是有錯誤qq
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我可能還要再想想了QQ
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嗯 細屑你跟我討論:) 我也再去想想
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謝謝
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也謝謝你點出我的問題QQy
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