Re: [線代] Linear transformation
※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: 要怎麼證明
: 一個linear transformation
: 一定會有eigenvector呢?
1. 你需要 linear transformation T: V -> V，也就是
定義域空間和值域空間相同，否則免談。
2. 你的向量空間 V 必須佈於一個代數封閉體 (algebraically
closed field)，不然的話可能找不到 eigenvectors.
例：考慮 T 為 R^2 -> R^2 上的逆時針方向 90 度的旋轉變換。
即 T(x,y) = (-y,x)。
此變換沒有 eigenvectors (over R)。
但是看成 C^2 -> C^2 上， T 有兩個 eigenvalues +i, -i,
其 eigenvectors 分別為 (1,-i), (1,i)。
3. V 還需要是有限維向量空間。無限維的有反例。
x
例： V = C[x]， T(f) = ∫ f(t) dt.
0
4. 假設 V 為佈於一代數封閉體 F 的有限維向量空間， T : V -> V
為一線性變換。易知
det( T - λI ) = 0 在 F 內有根，
所以在某個 λ 上， (T - λI) v = 0 有非零解，
其解即為 eigenvalue 是 λ 的 eigenvector。
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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