Re: [代數] 請問well-defined是在?

看板Math作者xcycl (XOO)時間15年前 (2011/01/04 03:39)推噓2(2推 0噓 1→)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.135.42.132

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APM99

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czk0622

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a88241050

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WINDHEAD

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cacud

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APM99

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bineapple

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gogoivan

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gogoivan

01/02 13:28,

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這問題很基本，但通常講得很模糊。推文提到了「表示法」已經很接近了，當我們寫 a/b 其實意指所有與 a/b 相等的有理數，而不僅是 (a, b) 的一個數對，習慣上用 a/b 代表 [(a,b)] = {(p, q) \in Z x (Z - {0}) | qa = pb} 而 a/b 是這個有理數的其中一個表示法。因此底下這函數 f( a / b ) = a + b 並不是一個定義在有理數的函數，而是定義在 Z x (Z - {0}) 上的函數，若我們要將此一函數看作有理數的函數，必須要檢驗 f 是否將 [(a, b)] 對應到同一個元素。這步就是 well-definedness 證明在做的事情，檢驗所有等價類內元素，是否都對應到同個元素。也就是說，給定在 X 上的等價關係 ~ , 以及 f : X --> Y 證明「若 a ~ b, 則 f(a) = f(b)」。若這件事情成立，自然可以把 f 看作是定義在 X/~ 上的函數。若要嚴格區分的話，其實應該區分定義在 X/~ 跟 X 上的函數，但習慣上用同一個符號。（底下可忽略）用箭頭語言來看，令 q 為 X 到 X/~ 的 canonical projection, 也就是 q(x) = [x] 以及 \pi_1, \pi_2 : ~ --> X 將 (x, y) \in ~ 分別投影到 x 跟 y, 則 q 是 \pi_1, \pi_2 的 coequaliser。證明 well-defindness 就是檢驗 f . \pi_1 = f . \pi_2 這件事情，把 f : X --> Y 看作 X/~ 上的函數，是把 mediating morphism f' : X/~ --> Y 跟 f 看成一樣。 -- 我不認為「定義一個函數 f ，再證明他是 well-defined」這件事情是邏輯正確的，要嘛先定義一個 relation 再證明 functional, 要嘛說函數的定義域是 X 而不是 X/~。（這篇其實是抱怨文） -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 78.109.182.40

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calvin4

01/04 03:58, , 1^F

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※ 編輯: xcycl 來自: 78.109.182.40 (01/04 04:52)

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hcsoso

01/04 09:17, , 2^F

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※ 編輯: xcycl 來自: 78.109.182.40 (01/04 11:03)

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ntust661