[集合] 函數有多少個？

看板Math作者 (冷雨)時間13年前 (2010/12/31 18:26), 編輯推噓3(3推 0噓 25→)
留言28則, 4人參與, 最新討論串1/1
例如說這樣一個集合S={f|f:N->N}，它的基數是多少？ 我想應該不可能跟自然數一樣多吧，但是它和實數一樣多嗎？ 實數是0.a1a2a3...這樣的型式，上述的f也可以表示成這樣(如f(x)=2x可以表示成0.246.. )，但是實數的a是在一個有限的範圍內(如十進位表示時0<=x<=9)，f的a則有可數無限種， 感覺上S似乎比R大才對，不過我知道對集合基數大小的直覺觀感通常是錯的…… -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 113.61.198.13
推
12/31 18:42, , 1F
整數可以用質因數分解成2^a*3^b*.....而a,b,c是整數
12/31 18:42, 1F
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12/31 18:43, , 2F
而整係數多項式可以用x^n的係數表示成（a,b,c,...）
12/31 18:43, 2F
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12/31 18:44, , 3F
所以這個多項式可以和整數一一對應--我曾經看過有書
12/31 18:44, 3F
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12/31 18:45, , 4F
是這樣說的，僅供參考。
12/31 18:45, 4F
不太領悟耶……我不懂你要表達的意思，這跟我的問題有關嗎？
推
12/31 21:54, , 5F
原PO說的 欠一個方向
12/31 21:54, 5F
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12/31 21:54, , 6F
想辦法 把S裡的東西都去1-1對到 R裡面
12/31 21:54, 6F
呃，這個我還知道，問題是我無法想出這個對應，也無法證明他不存在（汗） （我知道怎麼證明「N的所有子集的集合」跟R一樣大這個……但是這和我的原問題又不太 一樣)
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12/31 21:54, , 7F
f:A->B, A中每一元素可以對應到B中任一元素, 因此其
12/31 21:54, 7F
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12/31 21:56, , 8F
基數同於 B^A. [0,1)中實數的小數展式相當於N->{0,1}
12/31 21:56, 8F
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12/31 21:56, , 9F
的函數, 其基數同於 2^N, 而 2^N 同於 R.
12/31 21:56, 9F
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12/31 21:58, , 10F
寫錯...二進位才是 N->{0,1},
12/31 21:58, 10F
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12/31 21:58, , 11F
十進位是 N->{0,1,...,9}.
12/31 21:58, 11F
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12/31 22:00, , 12F
N->N 的對應 = ∪(N->{1,2,...,n}的對應).
12/31 22:00, 12F
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12/31 22:00, , 13F
所以 N^N 的基數應該是同於 R.
12/31 22:00, 13F
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12/31 22:02, , 14F
好像說不通...orz
12/31 22:02, 14F
※ 編輯: raincole 來自: 113.61.198.13 (01/01 01:14)
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01/01 03:09, , 15F
我的意思是可不可以把（0,2,4,6,8,...）對應到
01/01 03:09, 15F
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01/01 03:11, , 16F
(2^0)*(3^2)*(5^6)*(7^8)，這樣似乎就可以把函數f對
01/01 03:11, 16F
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01/01 03:11, , 17F
應到整數上。
01/01 03:11, 17F
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01/01 03:12, , 18F
上面應該是(2^0)*(3^2)*(5^6)*(7^8)*.....
01/01 03:12, 18F
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01/01 03:27, , 19F
推完第二次文才發現我想錯了....................orz
01/01 03:27, 19F
推
01/01 11:59, , 20F
計自然數集合的基數為 N_0 原po你說的那個集合基數為
01/01 11:59, 20F
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01/01 12:01, , 21F
N_0^N_0 ≦ (2^N_0)^N_0 = 2^(N_0 xN_0) = 2^(N_0)
01/01 12:01, 21F
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01/01 12:02, , 22F
而顯然 2^(N_0) ≦ N_0^(N_0) 由Schroeder Bernstein
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01/01 12:03, , 23F
知 #(|R)=2^(N_0)=N_0^(N_0)
01/01 12:03, 23F
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01/01 12:04, , 24F
上面那些指數律的操作雖然都只是形式上的 但其實對
01/01 12:04, 24F
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01/01 12:05, , 25F
基數都成立, 另外 N_0 x N_0 = N_0 可以直接證明
01/01 12:05, 25F
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01/01 12:05, , 26F
也就是證明"a countable union of countable sets is
01/01 12:05, 26F
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01/01 12:06, , 27F
again countable" 但其實對任何無限集A都有
01/01 12:06, 27F
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01/01 12:06, , 28F
#(AxA)=#A
01/01 12:06, 28F
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