Re: [中學] 什麼是矩陣？以及反方陣的問題？
: 1. 矩陣乘法為什麼要這樣運算
考慮二元一次聯立方程組：
ax ＋ by = u
cx ＋ dy = v
可以想成：
未知 (x,y) 經由"變換" f : (a b ' c d) 的作用(計算)下，變成已知 (u,v)
(x,y) ─→ (u,v)
f
在這理 f 的變換資訊完全由 a,b,c,d四個數提供，暫且記為： (a b ' c d)
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今觀察連續兩次的變換：
ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p
cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q
也就是 x,y經過運算變成 u,v 緊接著把 u,v 用別種運算變成 p,q
[舉例]
x + y = u u - v = 1
x - y = v u + v = 0
求 (x,y) = ?
既然，
(x,y) ─→ (u,v) ─→ (1,0)
(1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1)
解法當然是
(x,y) ←─ (u,v) ←─ (1,0)
(1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1)
回到原來的
ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p
cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q
抽象成：
(x,y) ─→ (u,v) ─→ (p,q)
(a b ' c d) (A B ' C D)
F運算 G運算
我們自然想知道，可否直接把 F運算 和 G運算 合起來成一個 H運算：
(x,y) ────→ (p,q)
(? ? ' ? ?)
H運算
我們暫寫 H = G*F，代表 H 恰為 "先"作用F，再作用G
(因此我們可能 注意到 G*F 也許和 F*G 不同)
如何找出H的四個問號？
Au ＋ Bv = p -> A(ax ＋ by) + B(cx ＋ dy) = p
Cu ＋ Dv = q -> C(ax ＋ by) + D(cx ＋ dy) = q
所以 (x,y) 和 (p,q) 的關係可直接寫成：
(Aa+Bc)x ＋ (Ab+Bd)y = p
(Ca+Dc)x ＋ (Cb+Dd)y = q
所以 H 的四個數字為 (Aa+Bc Ab+Bd ' Ca+Dc Cb+Dd)
若把H寫成： 同樣，G寫成： F寫成：
┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐
│ │ │ │ │ │
└ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘
H = G*F 即為
┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐
│ │ = │ │ * │ │
└ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘
可啟發矩陣乘法的定義。
: 2. 矩陣的結合律怎麼推導？
: 有沒有嚴謹或直觀的推導方式呢？
如上，考慮三運算 F，G，H 則：
(F*G)*H = 先作用H，再作用"先作用G，再作用F的作用"
F*(G*H) = 先作用"先作用H，再作用G的作用"，然後再作用F
顯然兩句話是一樣的 : 先作H，再作G，再作F
: 3. 即使A、B都不是零矩陣，其乘積卻可能是零矩陣...???
零矩陣會把任何的 (x,y) 作用成 (0,0)
若我們分兩步來把 (x,y) 作用成 (0,0)
可以，比如說：
(x,y) ─→ (0,y) ─→ (0,0)
F G
其中，F總是把第一座標變成 0 ，但第二座標不變
G總是把第二座標變成 0 ，但第一座標不變
所以 F = ┌ 0 0 ┐ G = ┌ 1 0 ┐
└ 0 1 ┘ └ 0 0 ┘
所以 F和G的合成(G*F)和零矩陣效果相同，但F，G都不是零矩陣。
: 4. 有沒有可能AB=I但是BA卻不等於I呢？AB均是方陣
列運算可對應矩陣乘法，把 B 列運算成 單位矩陣 可寫成，比如說：
(E3)(E2)(E1)B = I
-1 -1 -1
→ B = (E1) (E2) (E3)
所以反過來乘： B (E3)(E2)(E1)
-1 -1 -1
= (E1) (E2) (E3) (E3)(E2)(E1)
= I
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