Re: [問題] 找垂直向量
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: <2>
: 考慮一 13x8 矩陣 B, 使得 (B')B = [0]
: 這時 f(M) 可改寫成
: = (A')A + (B')B
: = (N')N , 其中 N = [A' | B']' 為 21 by 8 matrix
:
這部份我覺得怪怪的.
B'B = 0;
換言之
[ b_1'] [ ]
[ b_2'] * [ b_1, b_2, ..., b_m ] = [0], 其中 b_i是B的column vector
[ : ] [ ]
[ b_m'] [ ]
這個假設的問題在於 |b_i|=0,
因此b_i必然是零向量; B也必然是零矩陣.
(我沒有仔細檢查後面,
但這句話看起來不是"考慮一13x8矩陣B, such that..."的問題了,
因為這條件下,沒得考慮...,只有零矩陣才滿足需求.)
:=========================
:
: ┌ I_7 3(e_7) ┐
: 令 g(M,k) = │ │
: └ 3(e_7') k ┘
: 真的去計算它的 eigenvalue
: 會滿足 (1-λ)^6 * [λ^2 - (1+k)λ + k-63] = 0
: 若要求 g 是半正定, 唯有當 (1+k) >= 0 && (k-63) >=0
要考量這個問題,
我們應該要從"什麼條件下有解來看",
doom的結論是: 至少得是63維的向量,才能找到滿足條件的一組解.
我覺得,有另外一個考慮方向,
去考慮:"該hyperplane應該距離原點有多近,
和unit ball的交點才足夠複雜到能產生滿足條件的一組解?"
也就是給定法向量n時,
平面 <x, n> = d 的d應該有多小?
所以相當於是把 g(M,k) 做一些代換,
3 用d代替, k用d*m代替; m則代表向量維度
這時候就能求出d的有效範圍.
因為在"印象"中,
若hyperplane和unit ball交得太淺,則原po的問題似乎會無解.
doom老大寫下的東西,會是個很好的思考方向.
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