Re: [非關] 期望值
※ 引述《vvvccc2d (5566)》之銘言：
: 有一件裝備等級+0
: 欲衝到等級為+4
: 已知每次衝成功的機率為40% 失敗的機率為60%
: 衝一次需耗費1戒尼
: 成功的話則等級提升1 (ex. +0==>+1 ; +1==>+2 ...)
: 失敗的話則等級會倒扣1
: 求由+0衝到+4總共耗費的期望值
: @@
假設裝備等級在 +0 衝等失敗還是維持在 +0，裝備不會消失或出現 -1 的情況
令 Xi 表示裝備等級從 +i 至 +4 所需的衝等次數，i = 0 to 3
p 表示衝等成功的機率，q 表示衝等失敗的機率，p + q = 1
首先，考慮目前裝備等級為 +3 的情況
┌ +4 (成功)
(圖1) +3 ┤
└ +2
由上圖可以知道裝備等級從 +3 至 +4 的期望衝等次數為 E(X3) = p*1 + q[1+E(X2)]
其次，考慮目前裝備等級為 +2 的情況
┌ +3 (回到圖1)
(圖2) +2 ┤
└ +1
裝備等級從 +2 至 +3 的期望衝等次數為 E(X2) = p[1+E(X3)] + q[1+E(X1)]
以此類推，E(X1) = p[1+E(X2)] + q[1+E(X0)]，E(X0) = p[1+E(X1)] + q[1+E(X0)]
整理上述方程式
E(X0) = p[1+E(X1)] + q[1+E(X0)]
E(X1) = p[1+E(X2)] + q[1+E(X1)]
E(X2) = p[1+E(X3)] + q[1+E(X2)]
E(X3) = p*1 + q[1+E(X3)]
p + q = 1
解聯立得 E(X0) = 4/p，將 p = 0.4 代入，此時 E(X0) = 10
裝備從 +0 衝到 +4 所需的平均次數為 10 次，每次必須付出 1 戒尼
因此平均而言，將裝備等級從 +0 衝到 +4 必須付出成本 10 戒尼 #
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