Re: [理工] 線代 102交大 svd
: 問一下(b)圈起來的地方為何會相等？
SVD的方向目前沒什麼想法
從另一個觀點解的話
在Ax=b有解的情況下(即b屬於A的行空間)
x屬於Rn
由列空間是零空間的orthogonal complement可知
x可以分解成y+z
其中y屬於A的列空間z屬於A的零空間
再由 ||x||^2 = ||y||^2 + ||z||^2
可知最小2-norm的解必定屬於列空間
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.0.66 (臺灣)
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我試著寫一下
假設A為一m*n 矩陣，rankA = r
-> v1~vr為列空間的基底，vr+1~vn為零空間的基底。
以下用S代表sigma
Ax = b = USV^Tx
x = V(S^+)U^Tb, xi = (ui^T b/si) vi
可知解x皆為vi的線性組合 -> 屬於列空間。
若n = r，零空間只有0，解唯一。
若n > r，存在齊次解使得一般解等於特殊解加上齊次解。
使得xi = Sigma(i=1~r) (u^T b/si) vi + Sigma(i=r+1~n) civi
再來相似於前面畢氏定理的說明，可知最小2-norm的x屬於列空間。
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※ 編輯: DLHZ (114.46.0.66 臺灣), 12/28/2019 17:17:08
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