[理工] 離散 整數mod n乘法群

看板Grad-ProbAsk作者 (R7)時間7年前 (2019/01/22 01:50), 7年前編輯推噓7(7推 0噓 35→)
留言42則, 6人參與, 7年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/0vrluxo.jpg
這題在問z*196的order order應該是指’循環群’ 元素a^m=e 的m 但這題問的是 o(G) . 沒有問是哪個元素生成的循環群 做法直接用互質的數 說明order 應該不對吧？ https://i.imgur.com/g5KqyLP.jpg
上一題的說法是當作乘法mod是循環群 但是wiki找到的好像不是(看不太懂 這題4和19互質 但是4沒辦法生成z19 能說明乘法mod不是循環群吧？ 那這樣第一題的order 問法跟解答應該都不對？ 困擾很久 感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.163.42 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1548093053.A.530.html
推
01/22 01:59, 7年前 , 1F
樓下TEPLUN
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01/22 02:04, 7年前 , 2F
order不是指那東西，原本order指的就是群的大小
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簡單來說就是那群裡面有多少元素
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循環群裡面元素剛好就是m
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而它今天需要組成一個群，就代表要有乘法反元素
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也就是說，是蒐集所有跟196互質的東西
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有點亂掉 舉個例子 Z*196中的 16 跟196不互質 所以不是Z196的元素 Z*19的order是18 18個數跟19互質 其中的循環子群<1> order是1 循環子群<4> order是9 這樣解釋對嗎 ※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/22/2019 02:26:41
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01/22 02:27, 7年前 , 7F
講完之後好像釐清了0.0！ 感謝rice大
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挑小毛病，不是Z*196的元素
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01/22 05:00, 7年前 , 9F
我講得不太完整，對群來說的order是大小沒錯
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但對元素的order有兩種定義方式，一種就是以這元素做為
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生成元所生出的循環子群的order，另一種定義方式就是你
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寫得a^m=e的最小的m，這兩種是等價的
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以一致性來看我是比較喜歡第一種，第二種是運算上方便
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01/22 07:47, 7年前 , 14F
想請問R大 如果這樣的話第一題怎麼能保證phi(196)就是
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最小的m呢？
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Z*196本身不是循環群，跟m沒關係 這邊講的m是元素order
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舉例來說，Z*19是循環群，可以找到一個元素2生成它自己
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反過來說，在Z*196裡是找不到能生成自己的元素的
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但不管怎麼說，任何元素都能自己生成一個循環子群
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而子群的order一定能整除原群的order
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對mod乘法群的order來說大概知道到這裡，再加上那幾個
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定理就差不多了吧
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推
01/22 08:59, 7年前 , 23F
不好意思想要問一下Rice大一個題外話,Z*n如果要是循
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環群,那麼n就要是質數嗎？
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不用是質數，例如Z*4也是循環群，不過Z*8就不是了
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推
01/22 09:32, 7年前 , 26F
Z*4也是循環群嗎？那他的generator是什麼呀？
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推
01/22 09:35, 7年前 , 27F
阿完蛋了還是有點搞不懂循環群的定義,循環群不是要
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找得到一個generator生成該群所有元素才能算是循環
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群嗎？
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01/22 09:37, 7年前 , 30F
搞懂 Z*n 的定義 然後自己把Z*4列出來 不就行了
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01/22 09:38, 7年前 , 31F
不會列就沒討論的意思 會列也就不用討論了
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01/22 09:42, 7年前 , 32F
Z*4只有兩個東西，1跟3，3是generator
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另外高斯其實有個好結論，他說Z*n是循環群iff n=1,2,4,
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p^k,2p^k p為奇質數
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推
01/22 09:50, 7年前 , 35F
好喔謝謝Rice大
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01/22 11:00, 7年前 , 36F
喔，我發現漏看原po文裡面一個錯誤的地方
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01/22 11:01, 7年前 , 37F
Z*19的確是循環群，你說4跟19互質這件事情是在加法群時
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01/22 11:02, 7年前 , 38F
才有的事情，在這裡你要看成4是2^2，而群的order是18
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2跟18不互質，所以4=2^2不會生成整個群
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推
01/22 18:47, 7年前 , 40F
謝謝R大我搞懂了
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※ 編輯: magic83v (123.193.92.189), 01/22/2019 23:47:09
推
01/23 23:41, 7年前 , 41F
第一題是對的，因為是問group 的order，就是找乘法群中
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01/23 23:41, 7年前 , 42F
有多少個元素，也就是找和其互質的個數
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