Re: [理工] 線代 非歐式空間轉換的矩陣表示法的性質
※ 引述《aa06697 (忍者龜頭痛)》之銘言：
: 想問一下 目前讀到線性映射這邊
: 知道當 T:V->W 是歐式空間轉換時 T(x)=Ax
: 其中A剛好是取V,W的標準基底的矩陣表示法
: 所以我們可以用這個A來取得一些性質
: 像是:
: (1)求R(T), N(T) 可以轉成求R(A), N(A)
: (2)問T是否1-1, onto 可以檢查A是否行獨立, 行生成
: (3)若A:m*n 則nullity(T)+rank(T) = nullity(A)+rank(A) = n
: 但這些都是在歐式空間的轉換下
: 黃老師的課本＆上課時也都有先提到是歐式空間轉換
: 我想問的是 那非歐式空間轉換呢？
非歐式空間的轉換,
背後仍為Finite Dimensional Vector Space之間的轉換
例如,
向量Fn 同構 n dimension Vector space
多項式Pn 同構 n+1 dimension Vector space
Vector space是代數定義,
(1) 其任意元素滿足ablian群加法 (前四項,封閉性,單位元素...etc)
(2) 其任意元素與scalar Field滿足乘法(分配律, 結合...etc)
而Range, Kernel, 1-1, onto, rank, ... etc
這些概念是建立在Vector Space之上才有的
其代表的是2個Vector Space之間的關係
也就是linear mapping(transformation)
所以你的代數結構必須要同構Vector Space
才享有這些性質
: U: V->W 其中V是多項式空間 W是矩陣空間
: 雖然可以換成矩陣表示法
: 得到 [U(v)] = [U] * [v] (基底就不打了 因為不知道怎麼表示= =)
: 會是 m*1 m*n n*1
: 就類似是前面所講的T(x) = Ax 的感覺
: 那假如[U] = B (且是取V,W的任意基底 就是不用取標準基底)
: 也可以像是上面所講的
: (1)求R(U), N(U) 可以轉成求R(B), N(B)
: (2)問U是否1-1, onto 可以檢查U是否行獨立, 行生成
: (3)若B:m*n 則nullity(U)+rank(U) = nullity(B)+rank(B) = n
: 像這樣用這個B來求得U的性質嗎？
基底可以直接對應就沒有問題,
如果是Pn -> Fn+1, 會稍微不同
但總結來說, dimension變化是一樣的
而R(U)--->R(B)你要自己想辦法轉換
看代數結構而定
覺得代數部分感到抽象,
你可以自行練習個習題,或者是舉個例子來驗證自己的想法
因為都是Vector space,所以都跑不出這個圖的變換
http://i.imgur.com/mX8KHNb.jpg
上到下代表dimesion改變, 要注意的就是 1-1, onto是否改變
是否所有行/列向量仍為線性獨立?
n > m 還是 m > n或 m = n都有不一樣的結果
(m = n 代表了基底變換的linear transform)
左到右代表代數結構的改變
例如P3(R)為3次多項式, 同構 F4或4-dimesional Vector Space
------------------------------------------------------------
最後舉個例子,
U : V --> W
T : P3(R) --> P2(R) 是 3次多項式微分成為2次多項式
φA: P3(R) --> R^4
φB: P2(R) --> R^3
LA : R^4 --> R^3 左矩陣乘法, LA(x) = Ax
[0 3 0 0]
LA = [0 0 2 0]
[0 0 0 1]
任取一個3次多項式, y = x^3 + x^2 + x + 4
微分之後可得 y'= 3x^2 + 2x + 1
同理的計算, u = (1,1,1,4)
則結果可以用 LA * u = (3,2,1)
結論是相同的。
你可以自行畫出他們之間的變化, 就像上面的圖一樣
V --------> W
| |
P3 -------> P2
| |
F4 -------> F3
那很明顯地,
這次的變化並非 1-1, Ker非{0}, rank是3
以上的Field皆可以為複數C, 結論不變.
有問題再問我。
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