Re: [理工] Fourier transform
※ 引述《thewolf (阿丟)》之銘言：
: 請各位大大幫忙 感恩!
: 題目:find the fourier transform of the function,
: f(x)=e^-a(x-b) where a and b are constants.
: the fourier thansform of a function.
: ∞
: fourier transform 公式定義是 1/√2π∫ f(x)e^-jωx dx
: -∞
: 由於沒有正確的解答 所以想請問各位大大 能否提供這題的解法與答案
: 我算的答案是 e^ab/√2π(a+jω) 但感覺是錯的...請各位大大幫忙 感謝~~
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<1> when a>0:
FT{f(x)}
∞ -a(x-b) - jωx
= C*∫ e dx ( 為了簡便，假設 C = 1/√(2π) )
-∞
∞ -(a+jω)x + ab
= C*∫ e dx
-∞
C*e^(ab) -(a+jω)x -(a+jω)x
= ─────*[ lim e - lim e ]
-(a+jω) x→∞ x→-∞
=> 發散
<2> when a<0:
(仿造 <1> 的推論，也會得到發散的結論)
<3> when a = 0:
FT{f(x)}
∞ -jωx
= C*∫ e dx
-∞
= C * 2πδ(ω) by def.
= √(2π) *δ(ω)
------
其實若你把 case <3> 也一樣積分下去
最後的算式型態會長的跟 <1> & <2> 幾乎一樣
只差別在指數項
嚴格說起來, <3> 的結論應該是積分不存在
但為了方便性，才用一些複變上自以為的"廣義定義" define 出 δ(ω)
要注意的是, δ(ω) 中的 ω 是屬於 R
若今天定義如下積分:
∞ -jωx
∫ e dx = 2πδ(ω) , 其中 ω 屬於 C
-∞
那一開始的 case <1> , 最後會推論出:
ab
FT{f(x)} = √(2π) *e δ(ω-ja)
網路上有查到 complex delta function 相關資料
我不知道可以用在哪裡，有興趣可以上網查
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推
02/18 22:14, , 1F
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