Re: [理工] 工數-逆運算子
※ 引述《yuan0222 (紅雲紫烈炎)》之銘言：
: 請問一下
: 1
: ------------------- = ?
: D^3+3*D^2+3*D+1
: 麻煩熱心的高手為我詳細解說
: 感謝
這個東西的答案就跟你解下面這個的yp(特解)一樣
y''' + 3y'' +3y' + y = nonhomogeneous
不過你沒給非齊性項，所以解不出來。
1.假設非齊性項是多項式→使用待定系數法
2.非齊性是 sin(ax) or cos(ax) → D^2=-a^2代入 (結果不能為0)→上下同乘一個bD+c
→D^2=-a^2代入 →微分得解
EX.
1
------------------- cos(1x)
D^3+3*D^2+3*D+1
D^2 = - (1^2)
1
------------------- cosx =
-D-3+3D+1
接下來同乘(2D+2)
1*(2D+2)
------------------- cosx =
2D-2 *(2D+2)
2D+2
------------------- cosx =
4D^2 - 4
D^2 = - (1^2)
2D+2 -1
------------------- cosx = --- (-2sinx + 2cosx)
-8 8
3.如果非齊性項是sinax or cosax 但D^2=-a^2代入之後會變成0
這個很麻煩，但本題不會遇到
4.e^ax(a 不等於-1)→D=a代入得係數
EX.
1
------------------- e^2x
D^3+3*D^2+3*D+1
D=2代入
1
=------------------- e^2x
27
5.e^(-1x) →e^(-1x)移至反微分算子左邊D 用 (D-1)代入
EX.
1
------------------- e^(-1x)
D^3+3*D^2+3*D+1
1
e^(-1x) --------------------------------1
(D-1)^3+3*(D-1)^2+3*(D-1)+1
接著用待定系數法去解
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