Re: [理工] [線代] 對稱矩陣證明
※ 引述《musicbox810 (結束是一種開始)》之銘言：
: 我遇到一個對稱矩陣的證明
: 不知道該怎麼證明
: n*n對稱矩陣A,已知其對角線元素為不為零的數λ_1,λ_2,...λ_n
: 其逆矩陣A^-1的對角線元素為1/λ_1, 1/λ_2,...1/λ_n
: 證明：A的非對角線元素皆為0
: 拜託強者幫忙解答
: 萬分感謝
A = Q D Q^T
A^(-1) = Q D^(-1) Q^T
D = diag[λ_1,λ_2,...λ_n]
D^(-1) = diag[1/λ_1, 1/λ_2,... 1/λ_n]
Q正交矩陣具有Σ(Q_pi)^2 = 1
i
對於每一個p = 1 ~ n
[A]_pp [A^(-1)]_pp = 1 = Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]
i j
考慮正定矩陣
Cauchy Inequality Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]
i j
>= [Σ(Q_pi)^2]^2 = 1
i
因為在滿足Q的本身限制之下
Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]為最小值=1
i j
所以 (Q_pi)√(λ_i) = C_p(Q_pi)[1/√(λ_i)] for and all i
因為Σ(Q_pi)^2 = 1
i
不可能Q_pi ＝ 0 for all i
(Q_pi)(λ_i) = C_p(Q_pi)
For p =/= q,
A_pq = Σ(Q_pi)(Q_qj)(λ_i)(δ_ij) = ΣC_p(Q_pi)(Q_qi)(δ_ij)
i,j i,j
= C_p Σ(Q_pi)(Q_qi)
i
= 0 QED
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.97
推
08/01 10:12, , 1F
08/01 10:12, 1F
※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.159.5 (08/01 22:30)
討論串 (同標題文章)