Re: [理工] [拉式] 98南交工數
: 第18題，我原本想要直接分式，但發現很難做
: 然後我讓它等於2式相乘、使用摺積定理，但逆轉換後的摺積我不會做
: 請問有人知道這題該怎麼處理嗎?
: 感謝~m(_ _)m~
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這題在考試的時候不是很建議把 ILT 算出來
因為你的目的不是要求 ILT，而是只要驗證四個選項有沒有滿足即可
不太需要花費很多工夫在求解上
t
只是很多人看到像是 t*sin(t) 、 e *sin(t) 之類的 form
就不是很想微分它下去驗證
以下實際做一次，並會說明要如何帶入會比較好
帶入驗證大致方向是:
<1> 檢查 齊性解 和 特解 的form
<2> 驗證特解
<3> 驗證初始條件
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<1> 檢查 齊性解 和 特解 的form
t
以那題來說，可以轉成解 y'''' + 2y'' + y = 4te
with y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0
可知通解的 form 必然可寫成
t
y(t) = (c1+c2*t)cos(t) + (c3+c4*t)sin(t) + (c5+c6*t)e
所以 (C) 不對，因為沒有特解
(D) 不對，因為特解的 form 不合
而 (A)(B) are valid
<2> 驗證特解
帶入驗證的一個準則是 算過的就不要再重算一次 !
先檢查 (A)選項
t
考慮特解 y = (t-2)e
t t t
=> y' = e + (t-2)e = e + y
t t
=> y'' = e + y' = 2e + y
=> ...
(n) t
=> y = ne + y
t t
所以 y'''' + 2y'' + y = 4e + y + 2(2e + y) + y
t
= 8e + 4y
t
= 4te
因此 (A) is valid ( B選項肯定錯，就不用算它了 )
<3> 驗證初始條件
這裡要驗證 y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0
若是以上述流程驗證的話，只需 check (A) 選項
這裡提供兩個驗證的方向
<3-1> 暴力帶入
t
令 y(t) = f(t) + g(t) + 2cos(t) , 其中 f(t) = (t-2)e
g(t) = (t+1)sin(t)
(n) t (n)
f (t) = ne + f(t) => f (0) = n-2
g'(t) = sin(t) + (t+1)cos(t) => g'(0) = 1
=> g''(t) = 2cos(t) - g(t) => g''(0) = 2
=> g'''(t) = -sin(t) - g'(t) => g'''(0) = -1
後續就只是把剛剛算好的參數做一下加減法運算, (A) 選項也對
<3-2> 泰勒展開
t
注意到 (t-2)e + (t+1)sin(t) + 2cos(t)
t^2 t^3 t^3 t^2 4
= (t-2)*[1 + t + ── + ──] + (t+1)*[t - ──] + 2*[1 - ──] +o(t )
2 6 6 2
只需 check t^3 之前的 term ，係數是否皆為 0
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ps:
-1 1
這題的 ode 不一定要看成是 y'''' + 2y'' + y = L { ──── }
(s-1)^2
例如也可以轉成:
-1 1
y'' - 2y' + y = L { ───── } with y(0) = y'(0) = 0
(s^2+1)^2
甚至只要計算以下兩個逆運算子:
1 -1 4 1 -1 4
─────L { ──── } 和 ────L { ───── }
(D^2+1)^2 (s-1)^2 (D-1)^2 (s^2+1)^2
相加後就是完整的特解了
1 1
至於後面要算得快的話，就把 ───── 改寫成 Im{ ───── }
(s^2+1)^2 2s(s-i)^2
餘下做法就不提供了 XD
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