Re: [理工] 工數+線代
※ 引述《a149851571 (yem)》之銘言：
: ※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: : ★Solve the diggerential eqaution
: : 2
: : (2y +3x)dx + (2xy)dy = 0
: : c
: : →y = ±√ (─ - x ) _______(1)
: : x^2
: : 2 c
: : →y = -x + ─ _________(2)
: : x^2
: 冒昧回個文
: http://imageshack.us/photo/my-images/821/28255619.png/
: 這是一個y^2 = x + c <=> y = ±√(x + c)的曲線族，紫色為邊界條件，
: 因此我們可以決定一個c，來決定解答為紅色這條曲線
: http://imageshack.us/photo/my-images/825/54171769.png/
: 但是我們不能因為邊界條件只有給一邊而把另一邊打一個洞？
: http://imageshack.us/photo/my-images/825/47418862.png/
: 或者把另一邊整個去掉？我想這可能不是一個明智的選擇
: 因為y^2=x的函式原本就是一個完整的碗公，開完根號後的±也是因為要讓這個碗公完整
: 而存在的，所以我們不能直接否定掉其中一邊而把它去除
: 除非我們算到的答案是y=√(x) (負的不存在實數平面，只存在半個碗公)，
: 那麼平方後才會有增根(跑出整個碗公)的情況。
: 不知道我這樣想有沒有什麼問題，因為不是數學系，
: 想得不嚴謹的地方、有錯的地方再麻煩鞭用力一點，漏氣中求進步XD
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以下有回給原po者，順便 po 一下文:
<1> 那個圖是 y = x^2 + C ，並非是 y^2 = x + C
<2> 所謂方程式的(特)解是
"若y=f(x) 帶入 ode 後等號成立, 則 y=f(x) 為原ode的一解"
所以 ode 的解要以 " y 是 x 的函數 " 來看待
<3>
舉個例子，若 2yy' = 1 且 y(1) = -1 , 則 y(4) = ?
正確答案是 y = -√x 且 y(4) = -2
可是若算出通解為 y^2 = x+C 後就貿然帶入初始條件
很容易誤以為 y^2=x 滿足題意
而後回答 y(4) = 2 和 y(4) = (-2) 皆成立
因為若順著上面的邏輯，會是:
『 y^2=x 滿足原 ode 且 y(1) = -1 』
<=> 『 (y=√x) or (y=-√x) 滿足原 ode 且 y(1) = -1 』
<=> 『 A or B 』
其中 A: (y=√x) 滿足原 ode 且 y(1) = -1
B: (y=-√x) 滿足原 ode 且 y(1) = -1
很明顯 A 敘述是 false
所以不能因此而回答 "y(4) = 2 成立" 這種答案, 只因 A敘述前面已被否決掉
否則我也可以自己多加一個條件:
『 (y^2=x) or ( y=√(x+1) ) 滿足原 ode 且 y(1) = -1 』
然後說 y(4) = √5 也是對的 ....!?
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