Re: [理工] laplace 複變

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間12年前 (2012/01/31 08:14)推噓5(5推 0噓 4→)

留言9則, 2人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《jody0113 (peter123)》之銘言： : 2. : ∮f(z)dz=2Πi*Resf(z) : 若奇異點z=a 在上式的封閉路徑"上面"(非在實軸上),請問可以再用上面的式子嗎? : 請板上高手幫忙....... --- <1> 我先舉一維的 case 2 1 若要計算 ∫ ── dx -1 x 根據瑕積分定義, 在區間 (-1,0) 和 (0,2) 上其積分值皆發散，所以原瑕積分值不存在 <2> 相同的道理，若 singular point(s) 落在 contour 上您也是要像瑕積分定義那樣子做分段積分 -2i 例如求 L = ∮ ──── dz , C:{ z│ |z|=1 } (考慮逆時針方向) C z^2 + 1 會發現 z = ±i 是 singular points , 且在 C上所以需要把 C 拆成 C1 + C2 其中 C1:{ z│ |z|=1 , z=i to -i } C2:{ z│ |z|=1 , z=-i to i } 然後分段積分 iθ 若照定義求 L, 一定是不存在, 因為經由變數變換 z = e 2π 1 L 可被改寫成 ∫ ─── dθ 0 cosθ 那個瑕積分可以很容易驗證其值不存在 <3> 可是複變函數它重新定義了瑕積分的原始含意其中一個就是 Cauchy principal value 2 1 例如前面提到的 ∫ ── dx -1 x -ε 1 2 1 就會被重新定義成: lim { ∫ ── dx + ∫ ── dx } ε→0 -1 x ε x 像前面提到的 L , 其科西主值也會存在 ------------ 因此原po推文說算類似 L 的積分 , "兩個留數值相加等於0" 你其實是在算科西主值不然照原本的 contour 積分你根本找不到一個微小的區間落在 C內且 Laurent series 存在計算落在 C上 singular point 的留數值沒有任何意義，而且是錯的結論是原po問的那個公式它不能套在 C上的問題若奇異點發生在 C上我的經驗是幾乎積分值都發散或不存在 (應該可以找到收斂的例子，不過我懶得想就是了XD) 若奇異點發生在 C上且要求科西主值積分值還是有可能會發散只是收斂的例子會變多，前面所述的 L 積分就是其一 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.211.139

推

cosmo7897

01/31 10:49, , 1^F

01/31 10:49, 1^F

瑕積分的定義就是如此，把不連續且 isolation 的點分段討論

推

jody0113

01/31 14:48, , 2^F

01/31 14:48, 2^F

你可以複習一下留數定理它使用的先決條件以及簡易的證明若想計算科西主值複變的做法是會對奇點周圍多繞一小段積分路徑為殘缺的圓此時才能使用留數定理，但係數要稍做調整

推

jody0113