Re: [理工][工數] ODE
※ 引述《j5128709 (j5128709)》之銘言：
: http://www.lib.cgu.edu.tw/exams/engineering/c/c1.pdf
: 第11提....看不太懂題目要算甚麼
: 第一次遇到類似的問題 感謝大大們@@
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考慮一 first order autonomous ode: y' = f(y)
roots of f(x) = 0 假設定義為 critical points
該系統的 critical point y = c
若對任意的 ε>0 , 皆存在 δ>0 ,
使得 │x(t_0) - c│<δ => │x(t) - c│<ε for all t>t_0
則稱 x=c 是 stable (反之則 unstable)
簡單的說若 x(t_0) = x_0 很充分的接近 c, 則 x(t) 也會很接近 c for all t>t_0
那 x(t) = c 就是 stable
一般課本會很喜歡拿 logistic ode 來舉例
因為這個 ode 同時存在 stable 和 unstable 點
若都不懂 y
│ ↘↘↘↘↘↘
那只要記得 stable 的曲線族趨勢會是 │ ------------- (funnel)
│ ↗↗↗↗↗↗
└─── x
↗↗↗↗↗↗
unstable ------------- (spout)
↘↘↘↘↘↘
↗↗↗↗↗↗ ↘↘↘↘↘↘
semi-stable ------------- or -------------
↗↗↗↗↗↗ ↘↘↘↘↘↘
(縱軸代表 output , 橫軸代表 input, 虛線代表 critical point)
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回到你的問題
先找 critical point:
f(y) = y^4 - 2y^3 + y^2 = 0 => y = 0 、 1
若 y' = f(y) < 0 => [y(y-1)]^2 < 0 => no solution
若 y' = f(y) > 0 => y 屬於 R - {0,1}
所以去把 y' = f(y) 的曲線族畫出來，趨勢大致如下:
y
↑
│ ↗↗↗↗↗↗
y=1 ┼---------------
│ ↗↗↗↗↗↗
y=0 ┼───────→ x
│ ↗↗↗↗↗↗
│
因此 y=0 和 y=1 是 semi-stable
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