Re: [理工] [工數]非齊次PDE

看板Grad-ProbAsk作者ntust661 (XDeutesh)時間13年前 (2011/08/31 08:32)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《hsnulight (逆光)》之銘言： : 想請問兩題PDE !! : (a). : 2 : δu δ u -t : ---- = k ----- + 100e , 0≦x≦L : δt δ x^2 : initial condition : u(x,0)=100 : boundary condition : u(0,t)=50 u(L,t)=100 : (b) : 方程式同上題 : πx : initial condition : u(x,0)=sin(----) : L : | : boundary condition : u(0,t)=0 δu | : ---- + αu| = 0 ,α>0 : δx | : |x=L : 以上第二題或許可以特徵函數展開先決條件是用分離變數解齊性解 2 du du ── = k ── dt dx^2 u(0,t) = 0 ux(L,t) + αu(L,t) = 0 u = XT . 1 T X'' ── ── = ── = -λ k T X X'' + λX = 0 λ > 0 , λ = ω^2 , X = c1 cosωx + c2 sinωx X(0) = 0 , c1 = 0 X'(L) + αX(L) = c2 { ωcos(ωL) + αsin(ωL) } = 0 ωcos(ωL) + αsin(ωL) = 0 ω = - αtan(ωL) 因 ω > 0 , α > 0 , L > 0 ω 會有無窮多組解 ω = p , n = 1 , 2 , 3 ... n λ = 0 , X = c1 + c2 x X(0) = 0 , c1 = 0 X'(L)+αX(L) = c2 { 1 + αL } = 0 , c2 = 0 X(x) = 0 λ < 0 , X = c1 coshωx + c2 sinhωx X(0) = 0 , c1 = 0 X'(L) + αX(L) = c2 { ωcosh(ωL) + αsinh(ωL) } = 0 ω = - α tanh(ωL) 觀察可知，沒有解 X(x) = 0 故特徵函數 X(x) = { sin p x }, n = 1 , 2 ,3 ... n 利用特徵函數展開 ∞ ∫ u(x,t) = Σ Tn(t) sin(pn x) n=1 代入 ∞ . 2 -t Σ { Tn(t) + k pn Tn(t) } sin(pn x) = 100e n=1 2 2 -t 2 -k pn t -k pn t < 100 e , sin(pnx)> k pn t Tn(t) = c1 e + e ∫ { ─────────── } e dt <sin(pnx) , sin(pnx)> = c1 2 -t ∞ -k pn t 100 {1 - cos pnL} e sin(pn t) u(x,t) = Σ Bn e sin(pn x) + (────────── )────── n=1 ║sin pn x║^2 k pn^2 - 1 Bn 就代入 I.C. 就可以了! -- 不知道這樣可不可以@@ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.161.120.226

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