Re: [理工] [工數]非齊次PDE

看板Grad-ProbAsk作者ntust661 (XDeutesh)時間13年前 (2011/08/30 17:12)推噓2(2推 0噓 2→)

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y※ 引述《hsnulight (逆光)》之銘言： : 想請問兩題PDE !! : (a). : 2 : δu δ u -t : ---- = k ----- + 100e , 0≦x≦L : δt δ x^2 : initial condition : u(x,0)=100 : boundary condition : u(0,t)=50 u(L,t)=100 修正邊界先~~ u(x,t) = w(x,t) + h(x) . -t w = k w'' + k h'' + 100 e 令 h'' = 0 u(0,t) = w(0,t) + h(0,t) = 50 u(L,t) = w(L,t) + h(L,t) = 100 h = c1 x + c2 h(0) = c2 = 50 h(L) = c1 L + 50 = 100 50 c1 = ── L 50 x h(x) = ─── + 50 L . -t w = k w'' + 100 e w(0,t) = w(L,t) = 0 w(x,0) = 100 - h(x) ∞ nπ 令 w(x,t) = Σ Tn(t) sin(── x) n=1 L 代入方程式 ∞ . nπx ∞ nπ 2 nπx -t Σ Tn(t) sin(──) = - k Σ Tn(t) (──) sin(──) + 100 e n=1 L n=1 L L ∞ . nπ 2 nπ -t Σ { Tn(t) + k(──) Tn(t) } sin(── x) = 100 e n=1 L L . nπ 2 2 L -t nπx Tn(t) + k(──) Tn(t) = ──∫ 100 e sin(──) dx L L 0 L 2 -k(nπ/L) t 2 -t -k(nπ/L)^2t Tn(t) = c1 e + ── [100 e ] (1 - cos(nπ)) e nπ 2 -t 2 ∞ -k(nπ/L) t nπx ∞ 200 e -k((2n-1)π/L)t 2n-1πx w(x,t) = Σ Bn e sin(──) + Σ ──── e sin(──) n=1 L n=1(2n-1)π L 代入I.C. w(x,0) = 100 - h(x) ∞ nπx ∞ 200 nπx w(x,0) = Σ Bn sin(──) + Σ ──── sin(──) = 100 - h(x) n=1 L n=1 (2n-1)π L 以上不就是 Fourier Series ? 200 2 L nπx Bn + ──── = ── ∫ {100 - h(x)} sin(──) dx (2n-1)π L 0 L Bn 就可以得到了@@ : (b) : 方程式同上題 : πx : initial condition : u(x,0)=sin(----) : L : | : boundary condition : u(0,t)=0 δu | : ---- + αu| = 0 ,α>0 : δx | : |x=L : 以上 : 我令u(x,t)=ψ(x,t)+v(x) 下去解 : nπx : 解到我利用特徵函數展開 ψ(x,t) = Σ A(t)sin ---- 代回原方程式 : L : 要開始比較係數就不知道怎麼辦了.. : 希望有前輩可以指導一下!! : 感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.118.197.152 ※ 編輯: ntust661 來自: 218.161.121.201 (08/30 20:27)

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推

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