Re: [理工] Gamma Function
y
※ 引述《machijoy (章魚燒)》之銘言：
: Ex: for all nonnegative integer n evaluate ∫x^n．exp(-1/2．x^2)dx
: 積分範圍是-∞ ~ +∞
: 請問有什麼方法可以把範圍變到0~+∞之間嗎?
: 我朋友他筆記上的解答抄的有點亂
: 我看不太懂= =
: 所以才跑來這麻煩各位大大T_T
考慮積分式
2 ＿＿＿
∞ -ax /2 √ 2π
∫ e dx = I(a) = Ｖ ──
-∞ a
2 2
d ∞ -x -ax /2 -1 √(2π) 1
──I(a) = ∫ ── e dx = ── Ｖ─── ──
da -∞ 2 2 a a
2 4 2
d ∞ x -ax /2 -1 -3 √(2π) 1
── I = ∫ ── e dx = ── ── Ｖ─── ──
da^2 -∞ 4 2 2 a a^2
...
n n 2n 2
d ∞ (-1) x -ax /2 1 3 (2n-1) n √(2π) 1
── I = ∫ ──── e dx = ── ── ...── (-1) Ｖ─── ──
da^n -∞ 2^n 2 2 2 a a^n
Γ(2n+1) n -n √(2π)
= ────── (-1) a Ｖ───
2^2n Γ(n+1) a
2
∞ 2n -ax /2 (2n)(2n-1)...(n+1) -n-1/2
所以 ∫ x e dx = ─────────── a √(2π)
-∞ 2^n
a = 1 ,
2
∞ 2n -x /2 (2n)(2n-1)...(n+1)
∫ x e dx = ───────── √(2π)
-∞ 2^n
n 為正整數
n = 0 , => √(2π)
1
n = 1 , => ─── {2} √(2π) = √(2π)
2
1
n = 2 , => ─── {4 * 3 } √(2π) = 3√(2π)
4
P.S. 奇數次方因為奇函數所以會等於零
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◆ From: 122.122.217.41
推
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※ 編輯: ntust661 來自: 218.161.126.101 (08/18 22:41)
討論串 (同標題文章)
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