Re: [理工] [工數]Wronskian判別
剛剛發現這段證明可能有問題的地方。
※ 引述《endlesschaos (佐佐木信二)》之銘言：
: 欲證明 u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內是否線性相關
: 需視能否找到 n 個 不全部為零之常數 C1 , C2 , ... , Cn
: 使得 C1u1(x) + C2u2(x) + ... + Cnun(x) = 0 ............(a)
: 將 (a) 式逐次微分，得另外 n-1 個方程式：
: C1u1'(x) + C2u2'(x) + ... + Cnun'(x) = 0 ............(b)
: C1u1"(x) + C2u2"(x) + ... + Cnun"(x) = 0 ............(c)
: .
: .
: .
: (n-1) (n-1) (n-1)
: C1u1 (x) + C2u2 (x) + ... + Cnun (x) = 0 ............(n)
: 式 (a) , (b) , ... , (n) 可用矩陣表示
: ┌ ┐┌ ┐
: ｜ u1 u2 ...... un ｜｜C1｜
: ｜ ｜｜ ｜
: ｜ u1' u2' ...... un' ｜｜C2｜
: ｜ . . . ｜｜ .｜
: ｜ . . . ｜｜ .｜ = 0 ............(n+1)
: ｜ . . . ｜｜ .｜
: ｜ (n-1) (n-1) (n-1)｜｜ ｜
: ｜ u1 u2 ...... un ｜｜Cn｜
: └ ┘└ ┘
從這裡開始，引進了Cramer's Rule，我把原文書上的定理打上來：
《Linear Algebra》 4th edition 作者：Friedberg
Chap.4 Sec.4.3
Theorem 4.9 (Cramer's Rule).
Let Ax = b be the matrix form of a system of n linear equations in
n unknowns,where x = (x1,x2,...,xn)^t.
If det(A)≠0,then this system has a unique solution,and for each k
(k = 1,2,...,n),
det(Mk)
xk = ──── ,
det(A)
where Mk is the n ×n matrix obtained from A by replacing column k
of A by b.
定理在陳述上是「若p，則q」的形式。
所以下面推論出當Wronskian行列式值不為0時，(n+1)式具有唯一零解，
C1 = C2 = ... = Cn = 0 是正確的。
: 由式 (n+1) 知
: ｜u1 u2 ...... un ｜
: ｜ ｜
: ｜u1' u2' ...... un' ｜
: ｜ . . . ｜
: 當 W(u1 , u2 , ... , un) ＝ ｜ . . . ｜ = f(x) ≠ 0
: ｜ . . . ｜
: ｜ (n-1) (n-1) (n-1)｜
: ｜u1 u2 ...... un ｜
: 則 C1 = C2 = ... = Cn = 0
: u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內線性獨立
下面這段可能就會有問題了。
原定理是：「若p，則q」，我們不能直接作推論，認為「若~p，則~q」是正確的。
: ｜u1 u2 ...... un ｜
: ｜ ｜
: ｜u1' u2' ...... un' ｜
: ｜ . . . ｜
: 當 W(u1 , u2 , ... , un) ＝ ｜ . . . ｜ = 0
: ｜ . . . ｜
: ｜ (n-1) (n-1) (n-1)｜
: ｜u1 u2 ...... un ｜
: 則 C1 , C2 , ... , Cn 有非零解
: u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內線性相關。
要引用Cramer's Rule作證明，等價的陳述應該是：
當方程式不具有唯一解時，det(A) = 0。
故當(n+1)式不具有唯一解時(具有不全為0之解)，Wronskian行列式值為0。
所以上面的證明若有出錯，或許就是這裡了吧？
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