Re: [理工] [微積]台大考古題(積分/極限/曲面/弧長)
※ 引述《maydayai ()》之銘言：
:
: (1)台大95
: 1
: ∫x^2(lnx)^2 dx
: 0
: 這題我跟版上某版友都算2/27
: 不過陳立的微積分魔法書裡面算-1/9
: 想請問一下這題應該怎麼算 答案是多少才對呢?
∫(xlnx)^2 dx = x(xlnx)^2-∫x*2*xlnx*(lnx+1) dx
= x(xlnx)^2-∫2(xlnx)^2+2x^2lnx dx
把∫2(xlnx)^2丟到另外一邊去
原積分=1/3*[x(xlnx)^2-∫2x^2lnx dx] (上下限是0到1 所以第一項是零~)
=-2/3*[∫x^2lnx dx]
=-2/3*[x^3/3*lnx-∫1/x * x^3/3 dx] (代0到1第一項又是零~)
=-2/3*[-x^3/9]
=2/27
: (2)台大94
: nx+1 x
: lim (--------) = 9
: x→∞ nx-1
: 答案是1/ln3
: 不過不會算= =
我做不出那個答案 可是我有我的答案你參考一下
nx+1 x 2 x
(------) = (1+ ------)
nx-1 nx-1
然後令一個變數2k=nx-1代進去
=(1+1/k)^(2k/n+1/n)
然後因為k也是趨近於無限大
=(1+1/k)^(2k/n)
根據e的定義 e=(1+1/k)^k 當k趨近無限大
所以上式取k趨近無限大就是e^2/n
: (3)台大94
: x=t/(1+t) ,y=ln(t+1) 求弧長 t的範圍[0,2]
: 這題積出來答案好像很醜...
: (4)台大97
: 2
: ∞ -x -3
: 選定N 使∫ e dx < 10
: N
: 我的答案是 N > (ln250pi)^1/2
: (5)台大97
: 2 2
: 曲面 z=101-x -4y ,z≧０ 邊緣(1,5,0)有隻小蟲欲登頂
: 走捷徑 問小蟲路徑
: 我是對曲面取梯度 然後點代入
: 算方向為(2,40,1)
: 不曉得方法是不是正確的?
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02/11 23:47, , 1F
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