Re: [理工] [工數]-冪級數求ODE 解答看不太懂

看板Grad-ProbAsk作者 (water)時間15年前 (2010/08/19 19:53), 編輯推噓1(1推 0噓 1→)
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※ 引述《johnoldman (嗶嗶嗶)》之銘言： : < 題目:> : 求解y"- xy' + y = 0 : ============================================================================ : 以下紅色標記為項次 : < 答案:> : x=0為ODE的常點,故令~~~~~~~ : ∞ : y=ΣAnx^n (|x|<∞) : n=0 : ∞ ∞ : y'=ΣnAnx^n-1 ; y"=Σn(n-1)Anx^n-2 : n=1 n=2 : 代入原ODE,整理得~~~~~~~ : ∞ : Σ{(n+1)(n+2)An+2 + (1-n)An }x^n = 0 : n=0 : (n+1)(n+2)An+2 + (1-n)An = 0 : 即~ : (n-1)An : An+2 = --------------------- (n=0,1,2,3...) : (n+1)(n+2) : -1 : n=0 => A2 = -----A0 : 2*1 : 0 : n=1 => A3 = -----A1 = 0 : 3*2 : A2 -A0 : n=2 => A4 = ----- = ----- : 4*3 4! : 2A3 : n=3 => A5 = ----- = 0 : 5*4 : 3A4 -3*1A0 : n=4 => A6 = ----- = ----- : 6*5 6! : 故可得~~~~~~~ : A2+1 = 0 (n=1,2,3,4..... 且A1≠0) : -(2n-3).......3*1 : A2n = --------------------A0 (n = 2,3,4.....) : (2n)! : 因此ODE的通解為~~~~~~~ : x^2 ∞ (2n-3).......3*1 : y(x) = A0{1 － ----- － Σ-------------------x^2n } + A1x : 2 n=2 (2n)! : ^^^ ^^^ ^^^ 　　　　　　　　　　　∞　　 n　 根據最初的假設　　y(x)=Σ An x 　　　　　　　　　　　n=0　 2 3 =A0 +A1 x +A2 x +A3 x +.... 1 2 =A0 +A1 x +(-__) x +... 2 把A2 帶recurrence formula求出來的 　　　　　　　　　　A3. A4...可以用一個通式表達，如解所示　　 最後因為A0 A2 A3 A4....都有相同的A0，可以提出來 　　　　　　　　　　做個整理就可得解　　　 : 想請問以上三處鋸齒標記是怎麼求來的?? : 感謝您耐心看完題目 -- 1. 請問名偵探科南的毛利事務所，樓下是做什麼的？ (a) 警察局 (b) 便利商店 (c) 咖啡廳 (d) 鐘錶行 2. 以下哪個地點不在南半球？ (a) 雷克亞維克 (b)布宜若賽艾立斯 (c)加拉巴戈群島 (d) 基督城 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.70.195.215 ※ 編輯: Ertkkpoo 來自: 219.70.195.215 (08/19 19:54)
推
08/20 09:31, , 1F
1.c 2.a嗎? 感謝解答
08/20 09:31, 1F
→
08/20 17:53, , 2F
題目太簡單了，下次改難一些
08/20 17:53, 2F
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