[理工] [工數]-冪級數求ODE 解答看不太懂
< 題目:>
求解y"- xy' + y = 0
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以下紅色標記為項次
< 答案:>
x=0為ODE的常點,故令~~~~~~~
∞
y=ΣAnx^n (|x|<∞)
n=0
∞ ∞
y'=ΣnAnx^n-1 ; y"=Σn(n-1)Anx^n-2
n=1 n=2
代入原ODE,整理得~~~~~~~
∞
Σ{(n+1)(n+2)An+2 + (1-n)An }x^n = 0
n=0
(n+1)(n+2)An+2 + (1-n)An = 0
即~
(n-1)An
An+2 = --------------------- (n=0,1,2,3...)
(n+1)(n+2)
-1
n=0 => A2 = -----A0
2*1
0
n=1 => A3 = -----A1 = 0
3*2
A2 -A0
n=2 => A4 = ----- = -----
4*3 4!
2A3
n=3 => A5 = ----- = 0
5*4
3A4 -3*1A0
n=4 => A6 = ----- = -----
6*5 6!
故可得~~~~~~~
A2+1 = 0 (n=1,2,3,4..... 且A1≠0)
-(2n-3).......3*1
A2n = --------------------A0 (n = 2,3,4.....)
(2n)!
因此ODE的通解為~~~~~~~
x^2 ∞ (2n-3).......3*1
y(x) = A0{1 － ----- － Σ-------------------x^2n } + A1x
2 n=2 (2n)!
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想請問以上三處鋸齒標記是怎麼求來的??
感謝您耐心看完題目
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※ 編輯: johnoldman 來自: 124.9.199.247 (08/19 19:25)
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