Re: [理工] [工數]-積分
※ 引述《uniqueco (寶)》之銘言：
: 3
: ∞ x + 1
: ∫ ------- dx
: -∞ 4
: x + 1
∞ x^3 1
先拆成 ∫ ─────── + ───── dx
-∞ x^4 + 1 x^4 + 1
前面這項很明顯的 奇函數 積分-∞ ~ ∞ 必為0
∞ 1
∫ ───── dz
-∞ z^4 + 1
4 (π + 2kπ)i
z = -1 = e
(π + 2kπ)i/4
z = e
πi/4 3πi/4 5πi/4 7πi/4
當k=0 z1 = e k=1 z2 = e k=2 z3 = e k=3 z4=e
z1 z2在上半平面
√(2)
2πi[Resf(z1) +Resf(z2)] = ─── π
2
或是用Beta 定理
4 1/4
令x = u x= u
-3/4
dx = 1/4 u du
-3/4
∞ u
2/4∫ ────── du
0 u + 1
√(2)
= 1/2 β(1/4 . 3/4) = ─── π
2
: ∞ sin(kx)
: ∫ -------- dx , where ka = π
: -∞ x - a
: 請問這兩題該怎麼積分..?
: 是要令z=x+iy下去做嗎@@?
: 可是又不知道z的範圍..
: 謝謝..
izk
2. e
令 f(z) = ─────
z - a
f(z)在實軸上有z=a 的一階pole
ikz πi
Resf(a) = e = e = -1
izk
∞ sin(kx) ∞ e
∫ -------- dx = im∫ ────── dz = im[(πi)(-1)] = -πi
-∞ x - a -∞ z-a
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推
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