Re: [理工] [工數]-特殊laplace
※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: ◎L{J (2√(at)}
: 0
: 如何先找出ODE的解去解這題?然後去解他= =?
: 而且要設立什麼樣的條件?!
: 又要再度麻煩高手了= =!!|||||
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已知
xy'' + y' + xy = 0 with y(0)=1 , y'(0)=0
的解為 y = J_0(x)
令 x = 2√(at)
則原 ODE 可改寫成
ty'' + y' + ay = 0 with y(0)=1 , y'(0)=0
( 這裡的 y 是 y = y(t) )
d
→ - ──[ (s^2)Y - s ] + (sY - 1) + aY = 0
ds
→ -[ 2sY + (s^2)Y' - 1 ] + sY - 1 + aY = 0
→ (s^2)Y' + (s - a)Y = 0
e^(-a/s)
→ Y = C ─────
s
由 初值定理可知
lim J_0[2√(at)] = lim sL{J_0[2√(at)]}
t→0 s→∞
= lim C*e^(-a/s)
s→∞
= C
→ 1 = C
e^(-a/s)
因此 Y = ─────
s
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應該是這樣吧
剛剛還去查了一下 Bessel 的定義 OTZ
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
→
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推
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01/27 20:38, , 3F
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推
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01/27 20:50, , 6F
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推
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01/27 21:39, , 10F
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xy'' + y' + xy = 0 → 這個是 y對x 的2階 O.D.E.
若令 x = 2√(at)
→ t = x^2/(4a)
dy dt dy
── = ──*──
dx dx dt
x dy
= ──*──
2a dt
d dy d x dy
── ── = ──[ ──*── ]
dx dx dx 2a dt
dy d x x d dy
= ── * ──(──) + ──*──(──)
dt dx 2a 2a dx dt
1 dy x dt d dy
= ──* ── + ──* ──*──(──)
2a dt 2a dx dt dt
1 dy x^2 d^2 y
= ──*── + ──* ───
2a dt 4a^2 d t^2
把上面那兩團代回原 O.D.E.
再把變數 x 改成 2√(at)
整理一下就可以得到 y 為 t 的二階 O.D.E.
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (01/27 21:51)
推
01/27 22:16, , 11F
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01/28 09:36, , 12F
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討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：