Re: [理工] [微積分]-積分

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間16年前 (2010/01/07 00:17)推噓3(3推 0噓 12→)

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※ 引述《alwaysfind ( )》之銘言： : 想請問一題積分， : ∞ : ∫cos(x^2) dx : 0 : 感覺好像很簡單，但我積不出來， : 麻煩版上高手教一下~謝謝! --- sol_1: iz^2 考慮積分 ∮ e dz = 0 c ／|_ c3 ／ |_ c2 ----> 這個是 1/8 個圓(扇形) QQ ／ |_ ／ |_ ／________________| c1 其中: c1: straight line from z=0 to z=R c2: 1/8 circle |z|=R from z=0 to z=e^(iπ/4) c3: straight line from z=e^(iπ/4) to z=0 c: closed contour c1+c2+c3 iz^2 R ix^2 ∮ e dz = ∫ e dx c1 0 R R = ∫ cos(x^2) dx + i∫ sin(x^2) dx 0 0 iz^2 π/4 i(R^2)e^(i2θ) iθ ∮ e dz = ∫ e iRe dθ c2 0 iz^2 π/4 -R^2[sin(2θ)] 則｜∮ e dz｜ ≦ ∫ ｜e R｜dθ by M-L Inequality c2 0 π/4 -R^2(2θ*m) ≦ ∫ ｜e R｜dθ for some m 屬於R>0 0 e^[-mR^2(π/2)] - 1 = ────────── -2mR → 0 as R→∞ iz^2 (0,0) i[x^2 - y^2 + 2xyi] ∮ e dz = ∫ e (dx + idy) c3 (1,1)R/√2 0 -2t^2 = (1+i)∫ e dt (set x=y=t) R/√2 --- 所以: iz^2 iz^2 iz^2 ∮ e dz + ∮ e dz + ∮ e dz = 0 c1 c2 c3 (when R→∞) ∞ ∞ ∞ -2t^2 → ∫ cos(x^2) dx + i∫ sin(x^2) dx = (1+i)∫ e dt 0 0 0 比較係數後即可: ∞ ∞ ∞ -2t^2 ∫ cos(x^2) dx = ∫ sin(x^2) dx = ∫ e dt　　____(1) 0 0 0 √(π/2) = ──── 2 要經由複變的技巧，得到 (1) 式後將積分區間 map 回實數空間　　才能繼續算下去 ------------------------------------------------------------------------------ sol_2: ∞ ∞ cos(x) ∫ cos(x^2) dx = ∫ ──── dx 0 0 √x ∞ 2 ∞ -xk^2 = ∫ cos(x) * ──∫ e dk dx 0 √π 0 2 ∞ ∞ -(k^2)x = ──∫ ∫ cos(x) * e dx dk √π 0 0 2 ∞ = ──∫ L{cos(x)} ｜ dk √π 0 s=k^2 2 ∞ k^2 = ──∫ ──── dk √π 0 k^4 + 1 最後的積分就是拆部分分式後續積分就留給您算了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151

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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (01/07 00:18)

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