Re: [理工] [複變]-兩題分之線瑕積分
※ 引述《kagato (包)》之銘言:
: ∞ ln(1+x)
: 1. ∫ _________dx Ans: (πln2)/2
: 0 1+x^2
令 x = tanθ
則:
∞ ln(1+x) π/2
∫ ──── dx = ∫ ln(1 + tanθ) dθ
0 1+x^2 0
π/2
= ∫ ln(cosθ + sinθ) - ln(cosθ) dθ
0
π/2
= ∫ ln[√2 * cos(θ-π/4)] - ln(cosθ) dθ
0
πln2 π/2 π/2
= ─── + ∫ ln[cos(θ-π/4)] dθ - ∫ ln(cosθ) dθ
4 0 0
πln2 π/4
= ─── + ∫ ln(cotθ) dθ
4 0
用複變的方法包不太出來
所以嘗試用積分技巧去算
結果算到後面那個詭異的定積分
區間不對稱也不知道怎麼算 OTZ
若有大大會算的煩請指點一下 QQ
: ∞ sinax
: 2. ∫ ________ dx Ans: 1/2a - π/2sinh(πa)
: 0 1+ exp^x
: 試不太出來,拜託板上神人了Orz..
考慮以下的積分區間:
^ c6
│ ____________________
i2π ┤| |
│|c1 |
│| |
│|--- | c5
iπ ┤ | c2 |
│---| |
│|c3 c4 |
│|___________________|
0 └─────────────>
c1: straight line from z=2πi to z=(π+ρ)i
c2: right circle |z-πi| = ρ from z=(π+ρ)i to z=(π-ρ)i
(不知道怎麼畫小圓, 所以畫的很像矩形 QQ)
c3: straight line from z=(π-ρ)i to z=0
c4: straight line from z=0 to z=R
c5: straight line from z=R to z=R+2πi
c6: straight line from z=R+2πi to z=2πi
考慮定積分:
e^(iaz)
∮ ──── dz = 0 , where C = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6
C 1 + e^(z)
e^(iaz) e^(ia*πi)
∫ ──── dz = -πi * ───── (single pole at z=πi)
c2 1 + e^(z) e^(πi)
= iπe^(-aπ)
e^(iaz) R e^(iax) 0 1 + e^[ia(x+2πi)]
∫ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ───────── dx
c4+c6 1 + e^(z) 0 1 + e^x R 1 + e^(x+2πi)
R e^(iax) R 1 + e^(iax)* e^(-2aπ)
= ∫ ──── dx - ∫ ─────────── dx
0 1 + e^x 0 1 + e^x
R e^(iax)
= [1 - e^(-2aπ)] ∫ ──── dx
0 1 + e^x
e^(iaz) 0 e^(iaz)
lim ∫ ──── dz = ∫ ──── dz
R→∞ c1+c3 1 + e^(z) 2πi 1 + e^(z)
ρ→0
0 e^(-ax)
= ∫ ───── i*dx
2π 1 + e^(ix)
0 e^(-ix/2) *e^(-ax)
= ∫ ───────── i*dx
2π 2cos(x/2)
0 e^(-ax) 0 e^(-ax)
= ∫ ───── dx + i*∫ ──── dx
2π 2cot(x/2) 2π 2
1 - e^(-2aπ)
= k - i ────── ____(1)
2a
e^(iaz) 2π
| ∫ ───── dz| ≦ ─────── by M-L Inequality
c5 1 + e^(z) |1 + e^(z)|
2π
≦ ───────
|1 - e^(R)|
e^(iaz)
所以 lim | ∫ ───── dz| = 0
R→∞ c5 1 + e^(z)
---
lim e^(iaz)
因此 R→∞ ∮ ──── dz = 0
ρ→0 C 1 + e^(z)
1 - e^(-2aπ) ∞ e^(iax)
→ k - i ────── + iπe^(-aπ) + [1 - e^(-2aπ)] ∫ ──── dx = 0
2a 0 1 + e^x
∞ e^(iax) k 1 πe^(-aπ)
→ ∫ ──── dx = ─────── + i*[ ── - ────── ]
0 1 + e^x 1 - e^(-2aπ) 2a 1 - e^(-2aπ)
k 1 π
= ───────── + i*[ ── - ───── ]
2e^(-aπ)*sinh(aπ) 2a 2sinh(aπ)
∞ cos(ax) 1 0 e^(-ax)
即 ┌ ∫ ──── dx = ───────── ∫ ───── dx ____by (1)
│ 0 1 + e^x 2e^(-aπ)*sinh(aπ) 2π 2cot(x/2)
│
│ ∞ sin(ax) 1 π
└ ∫ ──── dx = ── - ─────
0 1 + e^x 2a 2sinh(aπ)
--
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◆ From: 140.113.141.151
推
01/02 22:04, , 1F
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01/02 22:26, , 2F
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→
01/02 22:47, , 4F
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01/02 23:06, , 5F
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01/02 23:21, , 6F
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇):