Re: [理工] [工數]-PDE
※ 引述《jmKevin (謝謝)》之銘言：
: [91 中山光電]
: 題目 : Find the function f(x,y) satisfying the Laplace equation
: d^2 f d^2 f
: ------- + ------- = 0 , for x^2 + y^2 = a , a > 0
: d^2 x d^2 y
: and the boundary condition f(x,y) = x^3 for x^2 + y^2 = a
換柱座標,let x=rcosθ,y=rsinθ
f(x,y)=f(r,θ) , 又f(r,θ)=f(r,θ+2π)
令 f(r,θ) = a0 + ΣQn cosnθ + Wnsinnθ
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這中間帶回Laplace equation,可推出Qn,Wn 是r^n + r^(-n) 的函數
Qn = An*r^n + Bn*r^(-n) , Wn = Cn*r^n + Dn*r^(-n)
f(0,θ)有限 Bn = Dn = 0
B.C. f(r,θ) = r^3*cos^3θ = a0 + ΣQn cosnθ + Wnsinnθ
note: cos3θ=4cos^3θ-3cosθ => cos^3θ = 1/4[3cosθ+cos3θ]
f(a,θ)= a^3*1/4[3cosθ+cos3θ] = a0 + Σ[An*a^n ]cosnθ+[Cn*a^n]sinnθ
由函數正交性知 A1 , A3 =\=0 , otherAn=Cn=0
π
a0 =1/2π ∫ a^3*1/4[3cosθ+cos3θ dθ , a0 = 0
-π
π
A1*a = 1/π∫ 3/4 a^3* cos^2θdθ , A1 = 3a^2 / 4
-π
π
A3*a^3 = 1/π∫ 1/4 a^3* cos^2 3θdθ ,A3 = 1/4
-π
3 1
f(r,θ) = ___ a^2 r cosθ + ___ r^3 cos3θ
4 4
: 3 1
: 答案 : f = --- a r cosθ + --- r^3 cosθ
: 4 4
: 不知道該如何把邊界條件換成柱座標，麻煩板上高手幫忙指導一下，謝謝
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※ 編輯: kagato 來自: 118.171.79.6 (11/13 22:01)
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11/13 22:11, , 1F
11/13 22:11, 1F
※ 編輯: kagato 來自: 118.171.79.6 (11/13 22:40)
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