Re: [理工] [工數]-拉式轉換
※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: ※ 引述《plumeshouse (羽居)》之銘言：
: : 此題可用換y 級數 拉式轉換來解
: : 前兩項我會算
: : 可是換成拉式卻卡住
: : 請大大幫我解一下
: : (-1/2) (-1/2)
: : y=C1x sinx+C2x cosx
: xy''+(1-2v)y'+xy=0
^^^^^^^
這裡為什麼要這樣假設??為了後面Bessel的驗證嗎??還是經驗??
: y(0)=0 y'(0)=0
: -d dY
: ---(s^2Y)+(1-2v)(sY) - --- =0
: ds ds
: -(s^2+1)Y'-(2S)Y+(1-2v)sY=0
: (s^2+1)Y'+(1+2v)sY=0
: 1
: lnY+---(1+2v)ln(s^2+1)=c'
: 2
: c
: Y=-----------------
: (s^2+1)^(1+2v)/2
: c 1
: Y=-------- ------------------
: s^(1+2v) (1+1/s^2)^(1+2v)/2
: c ∞ r 1
: =--------Sum C (---)^k ,r=-(1+2v)/2
: s^(1+2v)k=0 k s^2
: 其中
: r (-(1+2v)/2)((-(1+2v)/2)-1)...((-(1+2v)/2)-k+1)
: C =----------------------------------------------
: k k!
: -1-2v -3-2v -2k+1-2v
: (------)(------)...(--------)
: 2 2 2
: =----------------------------------------------
: k!
: 1+2v 3+2v 2k-1+2v
: (------)(------)...(--------)(-1)^k
: 2 2 2
: =----------------------------------------------
: k!
: (-1)^k(1+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
: =------------------------------
: (2^k)k!
: (-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
: =----------------------------------
: (2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)
: (-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)(2k+2v)
: =-----------------------------------------
: (2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)(2k+2v)
: (-1)^k(2k+2v)!
: =-------------------- 帶回
: (2^k)k!2^(k+v)(k+v)!
: =>
: c ∞ (-1)^k(2k+2v)! 1
: --------Sum -------------------- (---)^k
: s^(1+2v)k=0 (2^k)k!2^(k+v)(k+v)! s^2
: ∞ (-1)^k (2k+2v)!
: =cSum -------------------- ------------
: k=0 k!2^(2k+v)(k+v)! s^(2k+2v+1)
: y=L^-1(Y)
: ∞ (-1)^k
: =cSum -------------------- x^(2k+2v)
: k=0 k!2^(2k+v)(k+v)!
: ∞ (-1)^k x^(2k+v)
: =cx^vSum -------------------
: k=0 k!(k+v)! 2^(2k+v)
: =cx^vJ (x)
: v
: imply y=dx^vJ (x) is also solution
: -v
: ∴ yh=cx^vJ (x)+dx^vJ (x) ,
: v -v
: v=-1/2
: use bessel to verify answer
: xy''+2y'+xy=0
: Let y=vx^-1/2=vu
: y'=v'u+u'v
: y''=v''u+2v'u'+vu''
: x(v''u+2v'u'+vu'')+(2)(v'u+u'v)+xvu=0
: x^2v''+ xv'+(x^2-0.25)v
: v=c1J0.5+C2J-0.5
: y=x^-1/2(c1J0.5+C2J-0.5)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(-1/2) (-1/2) ====>兩式之間如何轉換
y=C1x sinx+C2x cosx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
上面還有兩個問題可以請大大幫我解釋一下嗎
感恩啦!!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.131.6.73
推
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