Re: [問卦] 有沒有這個數學式子要怎麼列的卦?

看板Gossiping作者cmrafsts (喵喵)時間5年前 (2020/03/11 13:04)推噓1(2推 1噓 1→)

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※ 引述《a1919979 (\(|)/ 斯巴拉西 \(|)/)》之銘言： : ※ 引述《FuSen000 ((*'▽')》之銘言： : : 　 : : 最近我的臉書被一種點名遊戲洗板 : : 遊戲規則大致如下： : : 　 : : 活動發起人說這是一個為期十天的活動， : : 他每天都會點一個人分享作品， : : 被點到的人也要從被點到開始， : : 發起為期十天的分享作品活動， : : 並且點一個人分享自己的作品。 : : 　 : : 在活動第一天看到了一篇這樣的點名貼文 : : 在活動第二天看到了兩篇這樣的點名貼文 : : 在活動第三天看到了四篇這樣的點名貼文 : : 在活動第四天看到了八篇這樣的點名貼文 : : 　 : : 根據這樣的遊戲規則往下走 : : 假設活動中點名人都不重複 : : 所有人被點到名就會從當日開始發起點名貼文 : : 　 : : 在活動的第Ｎ天總共會有幾個人參與活動？ : : 而在第Ｎ天時會在臉書看到幾篇這樣的貼文？ : : 　 : : 有沒有卦？請數學系鄉民解惑 : : 　 : 安安我非數學系但還算是理組的啦 : 總之我想我找出來了通式F(N) : F(n)=2^(n-1)-G(n) when n>0 : or : =0 when n<=0 : 其中 : G(n)=B(n-10)-B(n-20)+B(n-30)-B(n-40)+... : =B(n-10)-G(n-10) : B(n)=(n+1)*2^(n-2) when n>0 : or =0 when n<=0 : B(n)當n>0的部分是Bernoulli's triangle的row sum : 1,3,8,20,48,112,256...... : 這鬼東西是什麼我也不清楚 : 是解出來後餵狗找到的 : 可能數學系的比較有機會 : 以上通式是由 : F(n>1) =2F(n-1)-F(n-10)+F(n-11) : F(1) =1 : F(n<1) =0 : 的遞迴關係式配合excel驗證出來的 : 當然這是理想值本邊緣來玩當天就結束了 : 以下開放噓幹!跟我想的不一樣先講結論，這個答案是錯的，而且我大概猜到是怎樣的錯誤首先我們看到你對F的遞迴式。這個是正確的。讓我們忽略n<0的部分，則這個遞迴式長成 F(n) - 2F(n-1) + F(n-10) - F(n-11) = 0. 這種遞迴方程被稱為常係數線性齊次遞迴方程。前綴的意思是這個遞迴關係式長成 F(n) + a F(n-1) + ...... + a F(n-m) =0, 1 m 其中 a ~ a 是常數。 1 m 重點是這種方程有已知的公式解法。首先，我們考慮他的特徵多項式。他的特徵多項式被定義為 m m-1 x + a x + ...... + a . 1 m 11 10 10 在這一題的狀況，特徵多項式為 x - 2 x + x - 1 = ( x - 2 )( x + 1 ) + 1. 10 很可惜他不是 ( x - 2 )( x + 1 )，所以我們不會解他的根。但是沒關係，因為 Wolfram alpha 會。解出來的結果是有一個略小於 2 的實根，以及 10 個排得很像橢圓的虛根。由於有 11 個不同的根，這個遞迴的一般項為 11 n F(n) = Σ b ξ , i=1 i i 其中 b ~ b 是常數，ξ ~ ξ 是特徵多項式的11個根。 1 11 1 11 因此你需要 11 項的值來決定這個數列。如果特徵多項式有重根，則一般項需要加上多項式修正，規則和常係數線性齊次微分方程長得一模一樣。我記得原因也可以寫得一模一樣，只是我現在懶得想。現在我們回到你的答案。 n-1 首先，你把看起來是 dominant term 的 2 拿出來，導致 G(n) 變成一個 11 10 特徵多項式為 ( x - 2 ) ( x - 2 x + x - 1 ) 的常係數線性齊次遞迴方程的解。為什麼呢？你用 F 的遞迴方程去寫 G 的遞迴方程就會發現這件事。你也可以把 G 的一般項寫出來，雖然你不知道確切的根和係數，拿去和 F 的比對加上上面的通解規則就會知道 2 。同理， B(n) 是一個特徵多項式為 (x-2) 的常係數線性齊次遞迴方程的解，你給出的 G(n) 的定義實際上是一個特徵多項式為 2 10 ( x - 2 ) ( x + 1 ) 的常係數線性齊次遞迴方程的解。很可惜，和正確的特徵多項式差了一點點。想必這一點點搭配上微小的計算錯誤造成了你錯誤的結論。 -- 我永遠喜歡中野一花 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 100.38.21.72 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1583903085.A.9F2.html

噓

Roooz

03/11 13:05, 5年前 , 1^F

03/11 13:05, 1^F

→

ARCHER2234

03/11 13:06, 5年前 , 2^F

03/11 13:06, 2^F

※ 編輯: cmrafsts (100.38.21.72 美國), 03/11/2020 13:07:18

推

brabra

03/11 13:06, 5年前 , 3^F