Re: [危機]分
前幾天在寫一些Fourier transform的時後
剛好又碰到這個積分式 心血來潮又想了一下
結果用微積分的方式算出來了
只是有些細節是要一些高微的定理來support就是了
∞ sinx
Show that ∫ ------dx = (π/2)^(1/2)
0 √x
pf. ∞ sinx -kx
For k>0, we consider ∫ ------e dx ---(*)
0 √x
∞ -x(y^2) √π
since ∫ e dy = ----- (it is easy to check)
0 2√x
2 ∞ -kx ∞ -x(y^2)
then (*) = -----∫ sinx e ( ∫ e dy)dx
√π 0 0
2 ∞ ∞ -(k+y^2)x
= -----∫ (∫ sinx e dy)dx
√π 0 0
2 ∞ ∞ -(k+y^2)x
= -----∫ (∫ sinx e dx)dy (Fubini Theorem)
√π 0 0
2 ∞ 1
= -----∫ -----------dy (integral by part)
√π 0 1+(k+y^2)^2
sinx -kx sinx
Now, since ------ e → ------ as k → 0 uniformly
√x √x
on every interval I. So we can switch the limit and the
integral, and obtain that
∞ sinx ∞ sinx -kx 2 ∞ 1
∫ ------dx = lim ∫ ------ e dx = -----∫ ------- dy
0 √x k→0+ 0 √x √π 0 1+y^4
2 π√2
= ----- * ----- (註1)
√π 4
√π
= -----
√2
====================================================================
(註1)
這個積分有點技巧，要把 1/y^4 拆成
1 1+y^2 -1+y^2
----- ( ------ - ------ )
2 1+y^4 1+y^4
然後個別做積分
1+y^2 1+y^2 y^2 1 1
先考慮 ----- = ------ * ------ = (1+ ---- ) / (y^2+ ----)
1+y^4 y^2 1+y^4 y^2 y^2
再利用變數變換 1 1
u = y - --- => du = 1 + ---
y y^2
則 此積分式可換成對 1
------- 的積分
2+u^2
所以可知其為 (1/√2)arctan(u/√2) 然後把u代換回y後
再將上下限代入即可。
而另一個也是相同做法
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這個方法好像沒有比較簡單，但是用到的觀念大部份都是微積分
只有一些小地方是關於均勻收斂，但其實也不用太刻意去做驗証
直接用就可以了。
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