Re: [討論] 克蘇魯的資訊崩潰是教小學生微積分嗎

看板C_Chat作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間11月前 (2024/12/26 17:58)推噓12(12推 0噓 19→)

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※ 引述《hayuyang (鳳山蠹)》之銘言： : 推 ianlin1216: 所以極限的定義是什麼我現在還是看不懂 12/26 16:50 : 推 pponywong: 要懂微積分要修高等微積分啦 12/26 16:52 不用特別修高等微積分啦，極限的概念跟中學的數學相比，確實是很嶄新，但切記：數學理論的發展，都是為了簡化問題所以數學不應該是艱澀難懂的東西 :) 整個極限的概念的太初之始就是數列的極限，其他的極限(比如函數的極限lim f(x) 這種)都只是數列極限的變形所以我們就來看數列的極限是啥〈從簡單的例子出發〉考慮 An = 1/n 這個連角卷綿芽都看得懂的例子 https://i.imgur.com/M8zLo4L.jpg

不管極限定義是啥，「數列An的極限是 0」這個我想是沒有爭議的。即使不管n多大 An 都不會是0，但顯然 An會朝著 0 前進。從這邊出發如果要給個定義，很自然有下列這個候選：隨著 n 越來越大， An 就越來越靠近 0。所以 An 的極限是 0 這個定義其實很直觀，角卷綿芽都聽得懂。但是技術上會遇到一點小問題〈一個稍微靠北的例子〉考慮一個角卷綿芽可能比較難想像的例子數列 Bn = 1/n , n 是奇數 0 , n 是偶數 https://i.imgur.com/OeOhs2x.jpg

也就是說，這個數列一半像 1/n，另一半則是 0。首先可以注意到的是：Bn 並沒有"隨著 n越來越大就越來越靠近0" 因為Bn在奇數項直接就等於0了。所以上面的極限定義並沒辦法說明Bn極限為0。但...「Bn的極限是0」也是一件沒有爭議的事情。因為Bn列車也是一路開往 0 。有人可能想提問：啊幹你在找碴喔？n越大數列整體還是越來越接近0啊是的，「n越大數列整體越來越接近0」這個就是進代極限的想法〈進代數列極限定義〉那所謂的「整個越來越接近0」，在數學上是什麼意思呢？不管你怎麼想，始終都會走到「n如果夠大，那Bn就會在0旁邊」這結論再寫得量化一點：只要n夠大，Bn與0的距離就會很接近這個其實已經夠好了，但是「很接近」是一種感覺，不是數學語言。所以這個定義仍然需要再精進。再榨出一些腦汁之後，終究會走到：不管你給一個多麼小的數字 c，只要n夠大， Bn 與 0 的距離就保證比 c 小 (當然因為這是距離 c肯定要是正數) 這樣我們就可以量化地闡述上面「很接近」的意思。到這裡，我們已經得到微積分課本上的數列極限定義了只是一般課本裡面會寫成：對於數列 An，如果給定任何正數 ε，我們都可以找到一個分水嶺 N，在 n超過這個分水嶺之後， An 與某數字 a 的差距都小於 ε，則我們稱 An 的極限為 a 到這裡，你對數列極限的理解已經跟數學大俠們一樣了 https://i.imgur.com/AsqHWl2.png

從此不再需要聞極限色變 :) -- 早川秋看到的未來 https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg

https://i.imgur.com/SXPvXGe.jpg

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