Re: [實況] 奧術神座

看板CFantasy作者時間13年前 (2013/10/01 21:39), 編輯推噓62(62推 0噓 80→)
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好吧，看來很多人不太了解幾個幾何系統的關係， 以下簡單介紹一下。 歐幾里得在推導之前，列出 5個共同認知(common notions)， 和 5個公設(postulate 或說 axiom)。 共同認知指得是一些最基本、假如不成立則很多數學推論就無法進行 的敘述。 c1. a=c,b=c => a=b c2. a=b => a+c=b+c c3. a=b => a-c=b-c c4. 若兩物可重合，則此二者相等。 c5. 全體大於部分。 以上五點幾乎是數學推論可以存在的基礎，不能證明，也無需證明。 不過，要特別注意第五點；集合論告訴我們，部分的數量可以等於全體的數量！ 像是偶數和自然數一樣多就是一個例子。 公設則是一些由數學家設定的前提，是可以否定的。 一但我們否定了某個公設，建立的就是和原先不同的另一個系統。 羅氏幾何或者黎曼幾何並未推翻歐氏幾何，只是另一個系統而已。 5個公設： p1. 兩點可做一直線。 p2. 線段可延伸成直線。 p3. 給定一線段可用一端點為圓心，線段長為半徑作一圓。 p4. 兩直角相等。(這有點多餘，因為可用c4證明。) p5. 直線 c 分別與直線 a,b 相交，若一側的內角和小於兩直角之和， 則 a,b 於此側存在一交點。 (等價於：過一直線外一點可作唯一一條平行線。) p1-p4 基本上很直觀，看起來也不用證明；存在爭議的是p5， 也就是一般說的平行線公理。 數學家總是希望一個系統的公設越少越好，公設的內容越簡單越好。 p5的爭議就在於太繁瑣，內容不像公理，反而像定理(theorem)， 所以很多數學家都嘗試著運用其他的公設來證明p5。 像這種存在性證明，最好用的當然是反證法， 也就是假設存在兩條平行線，這也就是羅氏用的方法。 反證法推導到最後，是希望能得到一個矛盾(contradiction)， 如此一來就說明了不可能存在兩條以上的平行線，那唯一性就得到證明了。 但羅氏卻發現他找不到矛盾！ 換句話說，把p5改成："過一直線外一點，可作兩條以上的平行線"， 也是說得通的。 只不過，羅氏當時沒想通的是，必須修改直線的定義， 平面的定義等等，他建立的數學概念才能有恰當的模型。 我們現在當然知道，羅氏幾何就是雙曲面幾何。 雙曲面的最佳範例就是馬鞍。 但在一般的應用上，我們很少需要計算雙曲面上的幾何性質， 所以羅氏幾何常常被忽視。 但由於一些天文物理學家(特別是英國愛丁堡大學的教授們)主張： "宇宙的形狀是一個無限延伸的馬鞍。" 所以近幾年雙曲面幾何在天文物理界有受到重視。 至於黎曼幾何則是把p5改成： "過一直線外一點，可作無限多條與此直線相交於兩點但不重合的線。" 黎曼幾何就是一般說的球面幾何，和廣義相對論關係密切。 廣義相對論提出，重力其實就是空間的扭曲， 重力透鏡效應，只是因為光總是走最短距離所造成的。 重力造成的扭曲，在宇宙中形成一個個大大小小的球面， 而黎曼幾何恰好就可以用來計算宇宙中的運動學。 在日常生活中，黎曼幾何也有很多應用，畢竟我們住在球體上。 例如：從台北直飛紐約，可以有無限多條路線， 但哪一條最短？ 數學家告訴我們，球面上的兩點作出來的線段， 以圓心弧最短。 所以飛機兩點直飛的線路總是選擇圓心弧 （也就是一般說的大圓航線)。 以上就是三種幾何系統的大概。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 210.61.41.42
推
10/01 21:41, , 1F
雖然不明白，但是感覺很厲害 XD
10/01 21:41, 1F
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10/01 21:42, , 2F
念書時後學的幾何全都還給老師了 :(
10/01 21:42, 2F
推
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c3. 打錯了 是a-c=b-c
10/01 21:43, 3F
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10/01 21:44, , 4F
感謝提醒
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推
10/01 21:44, , 5F
這只是國小題目而以!大驚小怪 我看不懂
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推
10/01 21:46, , 6F
可以問一下 自然數=正整數 為什麼會跟偶數一樣多嘛？
10/01 21:46, 6F
推
10/01 21:46, , 7F
可以再講講還有什麼應用嗎 比起理論我更想知道這些數學
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天文學上修正遠方星辰的正確位置； 生活上，鐵公、路等大型建設的規劃， 都要用黎曼幾何的概念來處理。
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在現實中的應用 好歹比較直觀些 XD
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推
10/01 21:47, , 9F
神座串每次都會變成教學時間..XDDDDDDDDDD
10/01 21:47, 9F
推
10/01 21:47, , 10F
一樣多是因為都是無限多個?
10/01 21:47, 10F
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倒數第二段算是有講到應用吧
10/01 21:49, 11F
推
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L大,現實的應用,就是應用在科學上 數學比較純粹形而上
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10/01 21:50, , 13F
基本上精密計算,以及物理化學等科學,經濟會計 都要數學
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10/01 21:50, , 14F
可是無限大應該不能比大小吧∞/∞≠1
10/01 21:50, 14F
無限大是可以比大小的！ 正整數(自然數)、偶數、奇數、所有的同餘類、整數、有理數， 這些集合的勢(cardinal)，也就是集合內的元素數量都一樣多， 我們稱之為"可數無限多"，意思是儘管無限多但我們可以一個個數清楚。 數學家的證明方法就是，只要兩個集合的元素可以一對一對應， 他們就一樣多。 例如正整數和偶數的對應： 1 2 3 4 5 ... 2 4 6 8 10 ... 確實可以對起來，所以一樣多。 但實數和正整數卻無法一對一！ (證明很長，此處不寫。這是理解集合論的一大關卡) 數學家證明了，實數比正整數多得多， 這種稱為"不可數無限多"。 事實上還有比實數的無限更大的無限。 連續統假設在問："是否存在可數和不可數之間的無限"； 數學家已經證明了，連續統假設在目前的數學體系下，無法得知真假。 換言之，連續統假設就是碰觸到了數學的極限，不完備性定理。
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10/01 21:50, , 15F
應該說現代社會文明發達,是因為大量應用數學來發展科學
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10/01 21:51, , 16F
通常數學裡說到的應用，對一般人來說也有點遙遠 @@
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不過其實所謂的一般人,目前正大量使用數學發展的科技
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※ 編輯: rogerli 來自: 210.61.41.42 (10/01 22:04)
推
10/01 21:53, , 18F
可能是因為偶數包含正負偶數吧 我猜
10/01 21:53, 18F
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10/01 21:54, , 19F
其實我覺得數學就是思考邏輯及在假設下討論可能變化
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10/01 21:55, , 20F
一樣多是因為他們一對一對應..所以一樣多..
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10/01 21:56, , 21F
說穿了,只要可以精準定義並量化的,都可以用數學解釋
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10/01 21:57, , 22F
說到這個 有些古老哲學及現在風險管理思想 也可化為數學
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所以不容易和一般人討論稍稍艱深的數學，對他們來說只要
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所以大部份人會覺得數學很無聊 玩一堆怪怪假設及證明
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能使用以數學為基礎發展而得的科技產品就夠了
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10/01 21:58, , 26F
但實際上若能夠體會那樣的遊戲性 應該會多很多樂趣
10/01 21:58, 26F
推
10/01 22:00, , 27F
這暴頭魔法對我無效, 因為我根本看不懂 呵呵
10/01 22:00, 27F
推
10/01 22:03, , 28F
如果空間概念好 建議去看看三維向量相關的數學
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10/01 22:03, , 29F
我覺得最簡單的莫過於三維的向量了 而且很有趣
10/01 22:03, 29F
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10/01 22:04, , 30F
總之,數學沒那麼難 難是在於沒人帶練新手村...
10/01 22:04, 30F
推
10/01 22:06, , 31F
數學難在要有正確的概念 沒正確概念xy平面坐標照樣可以暴頭
10/01 22:06, 31F
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10/01 22:07, , 32F
所以帶練新手村很重要啊... 像我也只能挑戰向量圓錐曲線
10/01 22:07, 32F
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10/01 22:07, , 33F
學數學真的需要好的引路人，不然很容易繞進彎路裡@@
10/01 22:07, 33F
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10/01 22:08, , 34F
不過那是高中的事了...大學之後用不上(電資學院)
10/01 22:08, 34F
推
10/01 22:11, , 35F
這就是 數學不會 和 不會數學 的差別了!
10/01 22:11, 35F
推
10/01 22:11, , 36F
恩啊 而且數學蠻多東西真的跟現實經驗有衝突 雙曲整死很多人
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還有 66 則推文
推
10/03 02:01, , 103F
那我看法完全不同 我認為問題就要定義雙方在同一條曲線
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10/03 02:02, , 104F
移動 用參數來定義座標 參數定義在實數系的區間上
10/03 02:02, 104F
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10/03 02:03, , 105F
如果你用的數系不是實數 或是用不同的曲線 那你要重新定
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義甚麼叫做追到 那我想甚麼結論都可以發生
10/03 02:03, 106F
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10/03 02:04, , 107F
重點是 前提假設定義說清楚
10/03 02:04, 107F
推
10/03 02:15, , 108F
呃...所以我不是說我問的跟你說的不一樣嗎? 我問的是在什麼
10/03 02:15, 108F
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10/03 02:16, , 109F
前提下它可以成立 不同公設本來就會推導出不同答案
10/03 02:16, 109F
推
10/03 02:17, , 110F
你有沒有想過一個問題 如果雙方在不同的曲線上 甚麼時候
10/03 02:17, 110F
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10/03 02:17, , 111F
定義叫追到 這個一定要說清楚 如果曲線不相交就不算追到
10/03 02:17, 111F
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10/03 02:18, , 112F
那我想很多例子可以構造
10/03 02:18, 112F
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10/03 02:18, , 113F
至於你之前說的解法其實是繞過芝諾悖論對於無窮定義上的爭論
10/03 02:18, 113F
推
10/03 02:20, , 114F
不過實無窮是否存在目前還在爭論中
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推
10/03 02:20, , 115F
本來Zeno悖論就不需要管極限 他本來就沒有證明甚麼東西
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→
10/03 02:21, , 116F
他本來就沒有說明 所有的T都追不到 他只說他看到的T追
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10/03 02:21, , 117F
不到
10/03 02:21, 117F
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10/03 02:22, , 118F
他的證明根本缺乏all T這種條件
10/03 02:22, 118F
→
10/03 02:23, , 119F
如果你要定義一個集合 那樣就足以說明 all T 那也是
10/03 02:23, 119F
→
10/03 02:23, , 120F
定義巧妙啊
10/03 02:23, 120F
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10/03 02:24, , 121F
至少本來的論述就是缺乏足夠的說明力
10/03 02:24, 121F
推
10/03 02:27, , 122F
A跑出一條軌跡 B跑出一條軌跡 A要追到B一定會在某點上重合
10/03 02:27, 122F
→
10/03 02:27, , 123F
也就是說這兩條軌跡上會有交點 這部分論述沒問題吧?
10/03 02:27, 123F
推
10/03 02:33, , 124F
也就是你說的T=2時 兔子追上烏龜那個點
10/03 02:33, 124F
推
10/03 02:35, , 125F
那個兩條軌跡能不能大部分重合??
10/03 02:35, 125F
推
10/03 02:35, , 126F
在環面上 他就是可以在同一環劃出兩條平行線然後說這個點不
10/03 02:35, 126F
→
10/03 02:37, , 127F
存在 這超怪的對吧? 可他就長這樣啊
10/03 02:37, 127F
推
10/03 02:38, , 128F
為什麼要定義軌跡是平行線 然後相交才是追到?
10/03 02:38, 128F
→
10/03 02:39, , 129F
為什麼不能定義成同一曲線出發點不同
10/03 02:39, 129F
推
10/03 02:40, , 130F
他沒定義是平行線 是可以劃出平行線軌跡 至於為啥相交才追
10/03 02:40, 130F
→
10/03 02:41, , 131F
本來軌跡是任意的 如果能夠說明同一條曲線能夠追到
10/03 02:41, 131F
→
10/03 02:42, , 132F
那就讓後追者移動到同一條曲線 然後用前後追問題討論
10/03 02:42, 132F
推
10/03 02:43, , 133F
到 啊這不就是爭論的點嗎?
10/03 02:43, 133F
推
10/03 02:53, , 134F
我想我大概知道你在說什麼了 一條曲線上是沒辦法劃出平行線
10/03 02:53, 134F
推
10/03 02:53, , 135F
這篇文章的論證讓我想到著色問題 他說明有一個很糟糕的
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→
10/03 02:53, , 136F
著色方法需要很多的著色
10/03 02:53, 136F
→
10/03 02:55, , 137F
但是在環面上 他就是有辦法把兩條平行線塞進去
10/03 02:55, 137F
推
10/03 02:56, , 138F
那在平面上也可以追不到啊 兩個平行線不相交所以追不到
10/03 02:56, 138F
推
10/03 02:58, , 139F
你不是說在平面上同一曲線一定會相交? 哪來的平行線?
10/03 02:58, 139F
推
10/03 12:11, , 140F
數學是將一個複雜的事件變成簡單及嚴謹化..
10/03 12:11, 140F
→
10/03 12:13, , 141F
基本空間的定義如果不一樣當然會跑出不一樣的結果..
10/03 12:13, 141F
→
10/03 12:15, , 142F
一般來說環的定義不應該出現在這裡...(這裡不數學版)
10/03 12:15, 142F
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