[分享] 複數極式與平方根

看板tutor作者diego99 (誰是我的小天使？！)時間12年前 (2013/11/11 11:34)推噓4(4推 0噓 19→)

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指南針會告訴你方向，但它不告訴你如何到達目的地。 --- 在寫這篇之前：感謝曾經對我的敘述做過批評的人，因為這能讓我經由反思而得到更重要的東西。這篇以高中數學能見到的範疇來做討論與分享，先來看看這部份課綱給的方向是什麼。 http://ppt.cc/iZfA 二、三角函數 (前略) 複數的幾何意涵是以三角函數呈現，內容包括複數的極式與棣美弗定理。為了處理 1 的 n 次方根問題，要複習正、餘弦函數的和角公式。 (中略) 3.複數的幾何意涵 3.1 複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。 3.2 棣美弗定理，複數的 n 次方根，如： ◆(cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ) = cos(α+β) + i sin(α+β) ◆複數的 n 次方根僅談根的求法，以及複數的等比級數，...... (下略) --- 這時候可以進入這文章的主題，討論複數的平方根。為了處理平方根的問題，需要複習正、餘弦函數的和角公式，如 sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ 可用來說明棣美弗定理的使用；再說明 (cosα + i sinα)^2 = cos(2α) + i sin(2α) ，除了這些之外，還有一項是很值得去複習的：複習 α/2 可以在哪個地方(如101學測第12題第5個選項)。 --- 平方根的問題是有趣的，在國中階段，我們被告知正實數有平方根，而負實數沒有，到了高中剛開始不久的階段(多項式方程式)，我們知道了負實數也能有平方根，如： x^2 = 1 => x = ±1; x^2 = -1 => x = ±i 。求知若渴的我們就會想問：「不是零且不是實數，會不會有平方根？」在高中階段提到非零又不是實數，唯一能想到的就是非零的複數，於是問題就被自然的轉換成「非零的複數會有平方根嗎？」如： x^2 = cos(0度) + i sin(0度)，在複數平面上能否依據前述找出適合的根； x^2 = cos(180度) + i sin(180度)，在複數平面上能否依據前述找出適合的根。那麼，x^2 = cos(60度) + i sin(60度)，在複數平面找出的根又是如何？藉由這些或者更多的舉例，我們已經可以知道除了實數的平方根有兩個之外，複數的平方根「理應」也是會有兩個，甚至能觀察到這兩個根「理應」是一個圓上的直徑兩端點，接著自然能進行後續的驗證步驟，甚而繼續進行處理更高次方的根。 --- 分享一題我在101學測前出給學生練習的題目 http://ppt.cc/ekCD 這題，你們會用 A -> B -> C 的方式去找，還是用 C -> B -> A 的方式找呢？ :) --- 本篇的最後，為了避免有人過度和我討論定義的問題，還是說明一下「定義」在一篇文章與著作中的功能是什麼：在大部分的文章與著作中，無論是符號的或者敘述上被定義，多是作者為了使讀者有相同的共識，因而能妥善介紹作者想告訴給讀者的資訊， (所以會常有明明敘述的是相同的事物，A書和B書的「定義」卻不相同的狀況。) 甚至可以觀察到，多數情況的符號並非是真的被定義出來的，而一個符號讓大部分讀者都獲得相同共識的時候，自然就會被沿用下去，如：i, e, π...等。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.175.77 ※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/11 17:51)

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願聞其詳。話說為什麼 C -> B -> A是猜的？我原題目也只問哪個可能是而已阿@@ --- 其實我原本出題的想法是用負70度->負140度->負280度去出的XD 所以C -> B -> A反而是學生問我能不能這樣去想。 ※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/15 01:17)

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