[分享] 國一上 第二章 因數倍數 教學心得分享
「a 和 72 的最大公因數是 9 」
當題目裡出現這句話的時候，它其實在提示兩件事，哪兩件呢？
很多學生都會有這種困惑：
為什麼「明明有聽懂，考試卻還是錯」？
其實可以這麼說，他們的確有聽懂一些東西，
但是他們聽懂的這些，並不是真正需要學的。
也就是說，數學並不是真的有這麼難到，讓大家都聽不懂，而是大多數的人學錯東西了。
先來解答上面那題：http://0rz.tw/l5xrF
「a 和 72 的最大公因數是 9 」
==> 1. a 是 9 的倍數 ( a可寫成 9 x @ )
2. @ 與 8 互質
1. & 2. ==> a 是 9 的倍數，但不是 2 的倍數
「聽懂」有分三個層次，
第一層是，聽老師說的，覺得很有道理
-- 其實這樣只能算是「上課有在聽」而已，根本不算聽懂；老師講得話當然很有
道理，你要是會覺得老師講的話錯誤一大堆，那說不定還比較厲害一點……
第二個層次是，學會一個題目 或 題型
-- 大部份學生的「聽懂」都是這個類型的，但這樣也只是「知道這題怎麼做」而
已，題目要是有了變化，要不然你會沒發現、要不然你發現了卻不知道該怎麼做。
學生在聽課的時候、老師在教課的時候，應該要追求的是第三個層次的「聽懂」，
也就是
「搞懂 "為什麼 "要這樣做」以及「"我怎麼想得到" 要這樣做」
用國一上第二章「因數倍數」來說明這個問題是再適合不過了，為什麼呢？
因為這一章的問題，十題裡有六題
「要不就是跟 "最大公因數 ( , ) " 有關，
要不就是跟 "最小公倍數 [ , ] " 有關」。
學生如果只是「聽老師講解的時候，覺得很有道理」；
輪到他寫題目的時候，多半只會記得「首先要開短除法」
-- 但其實他連為什麼要這樣做都不知道。
因為國小的課程進度比較慢、所以短除法練習得很多、
在上課的時候看到老師解題又好像都一直在取 ( , ) 或 [ , ] ，
如果只是「聽了有懂」的話，很容易只學到「要取 ( , ) 或 [ , ]」這件事；
甚至他短除法開到一半，也不清楚是要取 ( , ) 還是 [ , ] ，
所以根本不知道該不該停下來……
如果是「學會題目怎麼算」的學生，或許不會有這樣的問題；
但是，一則是題目如果又變化、變成他沒看過的，在解題時就很容易錯；
另外一個問題是，
數學有這麼多題型，怎麼記得完？
現在是剛學完、所以還記得，將來複習的時候、考會考的時候，還能記清這些嗎？
以下我列了幾項學習的重點，這些重點，都是學生在聽老師講解題目的時候，
除了「有聽懂」、「有記得題型」之外，
應該要主動詢問、主動學起來的「為什麼要這要做」。
1. 「為什麼要取 ( , ) 或 [ , ] 」？
其實許多題目，都不是在問「最大」公因數，或「最小」公倍數；但計算過程中，仍然
會去取這兩者其中之一，這是因為：
「 A、B、C 所有的公因數，都是他們 "最大公因數 ( , ) " 之因數」
「 A、B、C 所有的公倍數，都是他們 "最小公因數 [ , ] " 之倍數」
這兩個講起來有點饒舌的觀念，非常的基本；
但學生往往沒去想清楚、老師往往沒說明，題目一拿來就開始算了；
這會導致學生「越寫越心虛」
-- 因為他隱約覺得，好像不是在問這個，但又好像記得老師是這樣算的。
ex: 在 1000 ~ 2000之中，52、65 的公倍數有幾個？
看到這個問題，如果學生還會因為 「哇嗚，一千多欸……」而卻步的話，或是困惑於
「我怎麼知道，哪些是 52、65 的公倍數 -- 一個一個抓來除嗎」？
那他就沒有把上面講的這個知識吸收進來：
52、65 的公倍數，不論多大，都會是他們「最小公倍數 的 倍數」，
所以我們只要先找到 [ 52 , 65 ] = 260 ；
那麼，他們的公倍數，都會是 260 的倍數，
1000 ~ 2000 之間， 260 的倍數只有四個而已 ^^
2. 因數倍數的應用問題，有兩個步驟要思考：
A 先找尋「相同的」東西
B 想清楚，這個「相同的」東西，和其他數字是什麼關係
-- 它是其他數字的因數、還是倍數？
比如說，我在影片裡用一個「水果分裝」的問題作示範：
「桃子56顆、梨子42顆、李子28顆，混合分裝 -- 每一合中都有三種水果各若干顆，每一
顆裝的內容物都一樣；則每盒最少共有幾顆水果？」
這題要求什麼呢？ 最小公倍數？ 最大公因數？ 其實都不是……
讓我們來思考一下：
分裝的時候，水果的個數會變成「 盒數 x 一盒幾顆」；我們列式如下：
盒數 x 一盒幾顆
桃 ) 56 = _____ x _______
梨 ) 42 = _____ x _______ 然後想想，在這題裡面，「相同的」是什麼？
李 ) 28 = _____ x _______
是「三種水果，被分進一樣多盒裡呢？」
還是 「每一盒裡面，三種水果一樣多顆」呢？
嗯，學生多半會想到，是三種水果被分進的「盒數」相同。
再要他想想，這個「盒數」，和三種水果的個數 56、42、28 的關係，
它是這三個數的……？ (因數，這個學生也容易想得到)
最後一定要問他，要把這個「盒數」求出來，你要找到 56、42、28的什麼？
如果我的學生回答的是「最大公因數」，會被我糾正
-- 到目前為止，我們都不知道他要求的是不是「最大」的公因數；
這個「盒數」是 56、42、28 的「公因數」，但不一定是最大的。
然後我們要去看題目，
題目要問的是「每盒最少共裝幾顆水果」 -- 一盒裡要裝得越少，就要分成越多盒；
到了這裡，我們才能確定的確該去求「最大公因數」
求出來 ( 56 , 42 , 28 ) = 14 這也不是答案，
因為題目問的不是盒數、不是最大公因數；
他問的是當分成十四盒時，桃子一盒 4 顆、梨子 3 顆、李子 2 顆，
所以一盒裡裝 9 顆是最少的裝法。
(我都把取完公因數，剩下來數字叫「渣渣」 ，這題求的是 「渣渣的總和」^^ )
如果學生學會了「該怎麼一步、一步去想」、「看到題目上講的什麼，可以想到什麼，
所以才要這樣算」；
那他就不必去記一個又一個，很少在重複的題型。
只要在練習的過程中，
讓自己熟悉這些不斷重複出現的「為什麼」和「怎麼想得到」的事。
而且還有一點很重要，你在算的時候，很清楚自己為什麼要這樣算，所以不會浪費精力在
困惑和懷疑、回想。
3. 「為什麼「頭尾都算，就要加一」？」
比如說「 4 到 19 之間有幾個整數？」 這類的問題，我都建議從「間隔」去想。
19 - 4 = 15 ，這裡的 15 ，
是指在數線上，從 4 到 19 一共要前進 15步、一共會有15 個「間隔」。
有 15 的間隔的話，需要幾個隔板呢？ 14個
如果要連頭尾都夾起來，夾住 15 個方格的話，要有幾個隔板呢？ 16個
所以「頭尾都算」才要把 19 - 4 給 +1；
「頭尾都不算」才要 減一；
「頭算尾不算、尾算頭不算」就不必調整，就是 19 - 4 = 15。
(圍成一整圈的話，就不用加也不用減)
4. 接近 1 的分數比大小時，和 1 去比
ex： 5 / 4 、 6 / 5 、 7 / 6 三個數，誰大？
很多學生都會記口訣、或是背題型；
但這都不如你直接想清楚來得好、又不怕到時候搞混背錯。
5 / 4 = 1 + 1/4 6 / 5 = 1 + 1/5 7 / 6 = 1 + 1/6
因為 1/4 > 1/5 > 1/6 ；所以 7/6最小、 5/4 最大
如果是真分數 ，es： 4 / 5 、 5 / 6 、 6/7 三個數，誰大？
同樣的，
4 / 5 = 1 - 1/5 5 / 6 = 1 - 1/6 6 / 7 = 1 - 1/7
因為 1/5 > 1/6 > 1/7 ， 1 減得越小，剩的越大；
所以 6/7最小、 4/5 最大
如果記口訣：「真分數，數字越大的越大；假分數，數字越大的越小」之類的，再看到這
個問題的時候，難道就不會背錯嗎？
上面教的這四點，和一開始那張圖教的那一件事，這五個重點，
大概就是這章是最要緊的事了。
以下列出一些在本章會需要掌握到的思考關鍵；
5. 若 「a 除以 3 會餘 1、 b 除以 3 會餘 2 」，
那 ( a + b ) 除以 3 ，會餘下1+2，結果剛好一堆，所以是整除。
(這個好像叫 「 餘數定理 」，我不太確定)
6. 取 [ , ] 的步驟共有兩階段，
第一階段，先取 ( , ) ，第二階段，把取剩的「渣渣」再拿來取 [ , ]：
然後乘起來。
ex： [ 240 , 144 , 72 ] = ( 240 , 144 , 72 ) x [ 10 , 6 , 3 ]
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這個道理可以在練習短除法的時候發現，但大多數的學生都沒有想清楚這點；
以至於他們在求三數、或大數 的公倍數時，要嘛想破頭、要嘛從2開始開短除法
7. 「最簡分數」 => 分子、分母 互質 => ( 分子 , 分母 ) = 1
8. 「a 、 b 互質」 ==> ( a, b ) = 1 ==> [ a , b ] = a X b
9. 假分數比大小的時候，可以和「整數 1 」去比；
帶分數、負分數比大小的時候，可以一層一層、由內而外去推論
10. A/B X c 變成整數。
若 c 本身是整數，則 c 是 B 的倍數；
若 c 是分數，則 c 的分子是 B 的倍數、分母則是 A的因數
(如果 c 的分母不是 A 的因數的話，那乘起來最後會留下約不掉的分母，
就不會是整數了)
11. 分數比大小的時候，其實也可以
「通分子 -- 透過擴分、約分，把分子變得一樣」去比；
甚至分子、分母 也可以有小數 -- 不一定要通到「最小公倍數」越通越大。
再提醒一次，一定要學生連「為什麼要這樣算」一起學起來，
不要只是記下「怎麼算」而已喲！
甚至是「如何判斷，是不是 2、3、4、5、9、11 的倍數」的方法，也不要只是用背的，
在最好把「為什麼」證明給學生看懂一次，才比較不會忘。
(順便可以複習數字、倍數，還有餘數定理)
以下是，「有熊老師陪你教數學」國一上 第二章「因數倍數」的各集影片：
「判斷因數、倍數的方法」、「學習要 "內化" 」
https://www.youtube.com/watch?v=FtlUgCl9tMg
「因數、倍數關係 的活用」、「再別康橋」、「說謊」
https://www.youtube.com/watch?v=UPtY_au0xeI
「標準分解式 與 ( , )、[ , ]」、「如何才會長高？ 誰容易被蚊子咬？」
https://www.youtube.com/watch?v=xC9m89tJ0qs
「快速抓取 ( , )、[ , ]」、「來改用 "二進位" 表示數字吧！」
https://www.youtube.com/watch?v=fpi54anaOqs
「( , )、[ , ] 進階思考」、「"演化論" 不是 "進化論"」
https://www.youtube.com/watch?v=DAegpYWE5ag
「從 "分裝問題" 學習 因數倍數 之應用問題」、「台灣地名由來」
https://www.youtube.com/watch?v=2Kjuk8mheho
「切割、合併 問題」、「專利權 之意義」
https://www.youtube.com/watch?v=3_1EBoqkMDY
「種樹、路燈 問題」、「畢氏定理 之 簡易圖解」
https://www.youtube.com/watch?v=GhB45hE6Q8Q
「同時出現 問題」、「通分 與 最簡 之進階題型」
https://www.youtube.com/watch?v=b3CrE2tDDYI
「各種 "分數比大小" 問題」、「生態工法」
https://www.youtube.com/watch?v=PN-PxLJFqDI
「作業及重點複習」、「再探 "二進位" 」
https://www.youtube.com/watch?v=nLRO9H7A9Ig
「與 "分數" 有關之應用問題」、「西遊記」
https://www.youtube.com/watch?v=3MeoFhPpqp4
這篇文章的 FB網誌 版本
https://www.facebook.com/notes/492086654232481
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有熊老師陪你教數學 (影片放在youtube頻道)
YouTube 頻道
http://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/
Facebook專頁
https://www.facebook.com/Teacher.Koala
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◆ From: 101.3.32.28
※ 編輯: oodh 來自: 101.3.32.28 (11/02 01:33)
※ 編輯: oodh 來自: 101.3.32.28 (11/02 01:35)
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