[解題] 高一數學 組合的證明題

看板tutor作者時間13年前 (2013/02/17 03:26), 編輯推噓0(0推 0噓 17→)
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1.年級：高一 2.科目：數學 3.章節：排列組合 4.題目： (1)、試證C(2n，n)可被n+1整除。 (2)、對任意正整數n、k，其中n大於等於k， 求證C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k) 的最大公因數為1。 (3)、設N=19^88-1 (19的88次方減1)， 求N的所有形如2^a．3^b的因數總和， 其中a，b為正整數。 5.想法： (1)依定義展開就不知道怎麼下手了，只記得跟(1+x)^2n有關， 但沒頭緒..... (2)完全不知道該怎麼下手才是.... (3)有想到將N變成(18+1)^88-1，但展開化簡後變成一個88項的 展開式，不知道該怎麼找出形如2^a．3^b的因數來.... 有在數學板問過，可能實力太差，板友的解法我看不大懂， 不知道各位老師有沒有適合高中生的解法....謝謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.174.37.38
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02/17 04:21, , 1F
第一題用數學歸納法(?)
02/17 04:21, 1F
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02/17 10:38, , 2F
(1)C(2n n)/n+1=2n*...*(n+1)/n+1=2n*.....*(n+2)
02/17 10:38, 2F
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02/17 10:47, , 3F
除式下方少打n!，可用歸納法
02/17 10:47, 3F
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02/17 13:33, , 4F
關於(3)，先用平方差寫出
02/17 13:33, 4F
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02/17 13:34, , 5F
(19^44+1)(19^22+1)(19^11+1)(19^11-1)再利用同餘理
02/17 13:34, 5F
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02/17 13:35, , 6F
論得到前三項不能被3整除(因為b為正整數所以檢驗此)
02/17 13:35, 6F
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02/17 13:36, , 7F
再將19^11-1=(18+1)^11-1利用二項式展開將-1消去
02/17 13:36, 7F
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02/17 13:38, , 8F
提公因式得到2^1*3^2(...)，其中括號內不能被2或3整
02/17 13:38, 8F
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02/17 13:39, , 9F
除，因此所有可能寫成的形式只有2^1*3^1，2^1*3^2
02/17 13:39, 9F
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02/17 13:41, , 10F
故總和為24 (若過程有問題再請各位補充說明，謝謝)
02/17 13:41, 10F
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02/17 14:23, , 11F
不好意思，少討論2的部分...@@等等補上
02/17 14:23, 11F
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02/17 14:46, , 12F
直接用(18+1)^88-1二項展開消去-1再提公因式(比較末)
02/17 14:46, 12F
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02/17 14:47, , 13F
(三項)得2^4*3^2*(...)，其中括號不能被2或3整除
02/17 14:47, 13F
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02/17 14:50, , 14F
故總和(2^1+...+2^4)(3^1+3^2)=240
02/17 14:50, 14F
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02/17 16:25, , 15F
(c(n,k) c(n+1,k)......c(n+k,k))=(n!/k!*(n-k)!........
02/17 16:25, 15F
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02/17 16:27, , 16F
(n+k)!/k!*n!)=n!/k!*(n-k)!(1......)=n!/k!*(n-k)!=1
02/17 16:27, 16F
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02/18 02:46, , 17F
Andrew大是不是漏了2^0和3^0
02/18 02:46, 17F
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