[求助] 平面座標轉空間座標問題

看板tutor作者 (降子搖)時間14年前 (2012/03/13 16:03), 編輯推噓4(4推 0噓 59→)
留言63則, 7人參與, 最新討論串1/1
各位高手好 小弟我在教高二圓與球的時候被學生問到了一個問題 可是我怎麼想都想不出來 希望有人能幫我解惑 問題大概是說 有沒有辦法從直角坐標系上的相對位置 算出對應球上的座標?? 例如有一個平面上的圖形 圖形中有給你 A B 兩座標 A B分別對應到一個已知半徑的球上的a b兩點 如果現在給你平面上C點的座標 有辦法算出球上對應的座標嗎?? 我聽到題目後第一個想到的是投影 但後來又不知道該如何再下去 後來有想到用向量+旋轉去算 可是還是卡住了 所以來這邊問問看 有沒有人有甚麼想法呢? 感謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.219.224.138
推
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聽這敘述似乎像是從一幅地圖的點對應到地球上的點...
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比較不太像是投影相關的東西
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如果是這樣的話那這和製作這地圖的投影法有關
03/13 16:07, 3F
推
03/13 17:18, , 4F
http://0rz.tw/Tz1H4 地圖投影 似乎是很難的東西
03/13 17:18, 4F
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03/13 22:03, , 5F
能投出同樣a b c的球並不唯一,所以...
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03/14 16:06, , 6F
原文中連怎麼「對應」都沒說。不過我覺得應該可以用直線的
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參數式代入球的方程式去算吧。
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這問題其實就是微分幾何一開始在學的東西，如何將一個三維
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的曲面用二維座標來表示。而事實上，表示方法並不唯一看你
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想用什麼角度去看，以這個例子，垂直投影不太可行，因為上
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半球跟下半球各有一個點為投影在同一個地方。用一個最簡單
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的方法就是利用球面座標時會看到的(θ,φ)去參數三維球。
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我重新說一下題目好了 現在有一個不規則圖形(平面、簡稱A)， 和一個已知半徑的球(立體、簡稱B) A上有兩個點 P(x1,y1) Q(x2,y2) 且B上有對應的兩個點 P'(x1',y1',z1') Q'(x1',y1',z1') (極座標，非球體座標) (P' Q'皆在球上) 他們的對應是從一個未知的角度投影下產生的 現在如果告訴你 A 上有一點 R(x3,y3) 請問有辦法算出他在 B 上的座標嗎? jol大有提到用球體座標當參數? 不好意思小弟愚笨，可不可以說明白一點呢?
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03/14 17:51, , 13F
小弟愚昧還是看不懂你的題目。我問好了，從「一個」角度
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投影，意思是每個投影都是同一個角度嗎? 那A上的點在球上
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未必有投影點喔。另外，你說的A是xy平面嗎?。第三，極坐標
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只能用在平面(wiki說的啦~)，你是不是想說是直角座標?
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1.三個點都是由同一個角度投影下所得到的 只是角度是未知 2. A是XY平面 B是空間直角座標
推
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向量 如何?
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OC=sOA+tOB 知道st 空間就可以用了
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推
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原來有解釋題目@@可是看完更不懂了
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03/14 22:12, , 20F
大概懂原PO的意思，簡言之現在存在一個mapping f:R^3-->R^2
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修正，上面R^3改為S^2
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給定兩個X,Y屬於S^2，並給出f(X)及f(Y)的值，假若給定一個
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a屬於R^2，試求出A屬於S^2，使得f(A)=a
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因為上述之f其實可以找到不少，因此假若你沒特定給f一些條
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件或性質，如線性轉換等等，我想簡直就是沒辦法求f(A)=a
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不知道 S^2 為一個球算不算條件?! 現在已知的部分就如同題目所說 有一個圖形 一個球 2個對應的點 還是有甚麼隱藏的性質我沒注意到?!
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我就是在問j大問的東西，你要說清楚你的對應(f)是什麼
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別說你這看似複雜(?)的題目，就說簡單的y=ax^2+bx+c，是
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直線對應到直線(實數對應到實數)，也必須是在「已知」是
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x的二次多項式對應到y，又最多需要「已知」3個(3點)對應，
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你才能確定其他點的對應。你的題目中認為有兩個對應就能確
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定第三點，這表示你心裡已經認為這是線性的對應，可是你自
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己好像也說不出個所以然來。
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抱歉是我表達上讓你們誤會 我覺得他們應該不是線性關係 而只是很直觀的 立體 -> 平面的投影 (或透視?!) 現在是要用已知投影出來的點 去推算他在空間中的座標 我想這可能是我要問的 也許他們有一個線性關係 也許沒有 所以我們在已知條件有限的情況下 還能推算出第三點的座標嗎? 抱歉一直誤導大家ˊˋ
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03/15 10:48, , 33F
其實投影就是一種線性轉換
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同一角度投影那就簡單啦，PP'跟QQ'是平行的，??'也平行PP'
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用PP'求出向量作為直線的方向量，以此向量和新點參數式，
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參數式代到球方程式就完事啦。不過大部分的點是沒有投影的
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而有投影的大部分有兩個解。
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只需要已知一組對應，連QQ'都不需要了。
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嗯哼 謝謝Lin大 大概有點懂 那請問如果那個 平面A 和球不屬於同一個座標系呢?(就是原點不一樣) 一樣也可以用直線參數式嗎
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03/15 14:23, , 39F
抱歉我的程度只到這裡，你的新問題看其他大大的說法吧
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但若A和球在同一個坐標系，但A不是xy平面，方法是一樣的。
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有辦法先做 座標系旋轉 + 平移 然後再做投影嗎?
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就已經是不同的座標系了，怎麼還有辦法利用旋轉平移變成同
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一個座標系。我相信你的意思應該是指平面A不是xy平面，而是
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某個ax+by+cz=d的空間平面，那這樣的話，他們還是同一個座
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標系。
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只是提醒一下，我的方法不能解樓主在math板貼的題目，因為
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那邊的題目P和Q的投影顯然不是「同一個角度」作出來的。
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恕直言，我覺得你連你想說什麼都沒有搞清楚，先思考一下吧
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抱歉 是我的表達能力有問題 MATH板上的問題和這裡的是同一題 所以都是由P Q同一個角度看過去
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非常同意樓上。
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反正跟你說，你想解general case，就請想我推文說的那樣。
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座標系的問題 應該是我的認知有誤 再給我一次機會>"< 意思是說 "假設" 現在是從平行 球上的P 和球存在的這個座標系的 原點 的方向 也就是 OP 去看 會看到 P' Q' 就有點像拍照 從OP的方向去拍 得到的照片是一個平面 然後拿那個照片當作2維直角坐標 這樣照片上的座標 和 球的空間座標 應該屬於兩個不同的座標系吧? 所以說兩個不同的座標系不能經由旋轉或平移讓他們重合瞜?! "如果"可以的話 是不是可以用Lin大說的方法找出對應呢? ※ 編輯: allirog 來自: 58.114.220.168 (03/15 23:48)
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03/16 02:49, , 50F
你都說像拍照那樣看過去，那不就是垂直投影，不就跟lin說的
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一模一樣...
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你拍下的照片那裏面的平面，就是原座標系裡面的一個平面阿
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我甚至還能算給你看，因那平面會通過圓心，法向量就是OP
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你學過三重積分嗎?其中有一個部份會教Jacobine吧，裡面就有
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用球面座標的轉換吧，那地方不就是把(x,y,z)-->(r,θ,φ)
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如果r是已知，那就變成一個三維轉成二維的例子了，你會發現
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那兩個座標系就真的是不同的東西，你根本不能合在一起。
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上面那句話說得不是很好，但是意思差不多差不多
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當然，如果你是說把你手上的那張照片放在桌上，對它畫xy軸
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，以此在照片上各個點得出一個新座標(x',y')，那的確就是新
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的座標系，而兩個空間維度就不同了，是要怎麼讓他們重合
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我說的是後者 以照片上各點得一個新的座標 題目說的 A 就是照片 A上的 P' Q'就是照片上的座標 那這樣得到的新座標 和球所存在的座標系上的x y應該是不一樣的?! 題目的 P'應該是說 球的垂直投影是到一個空間中的未知平面 然後以那個平面當作XY平面 重新繪製出一個新的座標系 則 P'點的 x 、 y 是這個新座標系上的x y Q'也是這樣得來的 那我現在的想法是 如果要從新座標系 A上的某個點 去推算原來的B上的點的話 應該是要先算出 新座標系的點對應未知平面(投影面)的點 然後從未知平面的點對應B上的點 這個想法不知在邏輯上有沒有問題?! 可是我覺得這樣解問題很大 因為那個未知投影面算不出來 就算我們知道法向量 但沒面上一點的話 好像沒辦法算出面?! 沒辦法算出面的話 就沒辦求出對應 那如果不去求投影面的話 有沒有辦法從P' Q' P Q 他們的相對關係 用向量的旋轉 平移 去找出另外一個點呢? ※ 編輯: allirog 來自: 60.250.105.55 (03/16 10:05)
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03/16 16:19, , 62F
我不跟你說那個投影平面會通過球心
03/16 16:19, 62F
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03/16 18:01, , 63F
抱歉是我蠢了= =
03/16 18:01, 63F
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