[解題] AMC數學科題目

看板tutor作者 (連不上的PTT...@@)時間16年前 (2009/03/16 09:37), 編輯推噓4(4推 0噓 9→)
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1.年級：國中三年級 2.科目：數學科 3.章節： 4.題目：一個正整數等於其四個最小正因數平方和。 問可以整除該正整數的最大質數為何?? 5.想法： 這題的答案是13 這是澳洲數學AMC的題目 然後我的第一個想法是把它用數學式表示出來 最小四個正因數一定有1 所以設另外三個因數分別是a,b,c 還有原數叫做x 所以數學式就可以表示成a^2+b^2+c^2+1=x 移項之後變成a^2+b^2+c^2=x-1 接下來原本想要用乘法公式來解 可是想不到有什麼相關的公式 好像只能用慢慢湊的 請大家幫忙一下.....謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.21.55.10 ※ 編輯: grope 來自: 163.21.55.10 (03/16 10:09)
推
03/16 12:10, , 1F
n = 130
03/16 12:10, 1F
推
03/16 13:43, , 2F
觀察一下 若abc皆為奇數 則x必為偶數若x為偶數必有2的因數
03/16 13:43, 2F
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03/16 13:45, , 3F
故可得c=2 又c=2可得ab必為一奇一偶 所以a為偶數 b為奇數
03/16 13:45, 3F
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03/16 13:46, , 4F
則可得a=bc 則原式可寫成x=(b^2)(c^2)+b^2+c^2+1
03/16 13:46, 4F
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03/16 13:48, , 5F
=(b^2+1)(c^2+1)=5(b^2+1) 又b|x 所以b=5 代回得x=130
03/16 13:48, 5F
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03/16 13:48, , 6F
有錯請指正^^
03/16 13:48, 6F
推
03/16 18:33, , 7F
我有點不理解...您不是設abc皆奇數才得X偶數嗎?那為
03/16 18:33, 7F
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03/16 18:33, , 8F
何c又等於2？這樣不是矛盾?
03/16 18:33, 8F
推
03/16 18:54, , 9F
設abc皆為奇數 可得x為偶數(矛盾~x為偶數必含有正因數2)
03/16 18:54, 9F
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03/16 18:55, , 10F
所以abc不全為奇數 如此可知c等於2(設a>b>c)
03/16 18:55, 10F
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03/16 19:14, , 11F
a =/= bc的一個可能為a或b為c^2=4 則a=7或b=3(另一個
03/16 19:14, 11F
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03/16 19:14, , 12F
為4) 但由此得出答案為30或70皆非4的倍數 因此130為
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03/16 19:14, , 13F
唯一解
03/16 19:14, 13F
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