Re: [解題] 一題國中資優
※ 引述《cagesoup (水水水)》之銘言：
: 1.年級：國中
: 2.科目：數學
: 3.章節：全
: 4.題目：
: 連結一個圓周上的9個點的36條線段，染上紅色或藍色，若由這9個點中
: 任3點組成的三角形都至少有一條紅邊。
: 求證：必有4個點，連結他們的6條線段都是紅色的
: 5.想法：
: 想從題目有知的條件下手，先算出紅邊至少有幾條
: 可是想了想又沒啥頭緒>"<
: 請高手幫忙了！謝謝
此圓上每個點所連出去的紅色線段都至少5條以上，
因為若有一點所連出去的紅色線段為4條，則必有4條藍色線段
不妨假設為x_1 連至x_5,x_6,x_7,x_8 都為藍色，則此四點彼此之間的連線
必均為紅色，則此四點得證
於是，考慮每個點所連出的紅色線段都至少5條以上，
然而，若有一點連出去的紅色線段有6條，
不妨說是x_1 連到x_2,...,x_6,x_7
可證得在x_2,x_3,...,x_7六點中，必存在一個三邊都是紅色的三角形(證明略)，
而此x_1,與此紅色三角形的三頂點又都相連，故得證
所以，不妨假設此九點，每點所連出的線段為5紅3藍
考慮x_1與x_2,...,x_6相連為紅色，與x_7,x_8,x_9為藍色
若x_2,...,x_6此五點中，有三點彼此間的連線為紅色，形成紅色三角形，則得證
考慮此五點彼此之間的連線，
可知每一點所連出的四條線中，必定為2紅2藍
(原因如下：
1.若有一點連出3紅以上，不妨說是x_2與x_3,x_4,x_5相連為紅色，
則在x_3,x_4,x_5中，必有兩點相連為紅色，不妨說是x_3,x_4
易知x_1,x_2,x_3,x_4彼此相連為紅色，得證。
2.若有一點連出3藍以上，不妨說是x-2與x_3,x_4,x_5相連為藍色，
則x_3,x_4,x_5必兩兩相連為紅色，就有一個紅色三角形了,由前面
討論可知得證
)
整理一下現在的情況，
x_1與x_2,...,x_6相連為紅色，而與x_7,x_8,x_9為藍色
(可知x_7,x_8,x_9彼此相連為紅色)
而x_2,...,x_6此五點彼此相連為2藍2紅
接著再考慮{x_2,...,x_6}與{x_7,x_8,x_9}間的連線
可知現在{x_2,...,x_6}中，每一點連到{x_7,x_8,x_9}的連線有2紅1藍
考慮x_2，不妨假設x_2與x_3,x_4相連為紅色，與x_5,x_6相連為藍色，
且x_2與x_7相連也是藍色
(注意此時的假設都是不失一般性的)
則x_5,x_6,x_7形成一個紅色三角形，x_2與x_8,x_9相連為紅色(因為5紅3藍)
考慮x_3與x_5,x_6的連線中必有一條為藍色，
(i)
若x_3,x_5相連為藍色，則x_4,x_5相連為紅色,
x_4,x_6相連為藍色(因為2紅2藍)，
x_3,x_6相連為紅色(因為2紅2藍)。
此時{x_2,...,x_6}間的連線顏色大致底定。
考慮x_3與x_7,x_8,x_9之間的連線，
若為x_3,x_7連線為藍色，則x_3與x_8,x_9連線為紅色(因為2紅1藍)，
可得x_2,x_3,x_8,x_9四點得證
若x_3,x_8連線為藍色，則x_3與x_7,x_9連線為紅色，
x_4與x_8連線為紅色
(a) 若此時x_4與x_9連線為藍色，則x_4與x_7相連為紅色
因此x_4,x_5,x_7,x_8四點得證
(b) 若此時x_4與x_7連線為藍色，則x_4與x_9相連為紅色
因此x_2,x_4,x_8,x_9四點得證
若x_3,x_9連線為藍色，情形同"x_3,x_8連線為藍色"
(ii)
若x_3,x_6相連為藍色，如(i)方式討論之，即可得。
原先的證明已更改。
證明中有些的假設，是利用圖形本身的對稱，所做的不失一般性假設。
如有錯誤，煩請告知..感激不盡:)
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