[微分] 101中正 函數恰有一解

看板trans_math作者 (hengzhi)時間9年前 (2015/06/13 02:00), 編輯推噓0(0推 0噓 22→)
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題目: For what value of C does the equation ln x = Cx^3 have exactly one solution? 解答: ---------------- 先畫出 ln x 與 Cx^3 的圖形 然後發現 當 C < 0 一定跟 ln x 相交 討論 C > 0 令 F(x) = Cx^3-lnx F'(x) = 3Cx^2 - 1/x = 0 >> C = 1 / 3x^3 代回 f(x) 解得 C = 1 / 3e ----------------- 想問版上大大 一看到題目 要怎麼直觀的想到 C > 0 滿足 F'(x) = 0 的條件 將會有唯一解， 另外為什麼C < 0 ，卻又要用圖形判斷? 而不是 從 F'(x) = 0 看出 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.121.215.135 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1434132004.A.A7F.html
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C = 0 或 C > 0 結果是很顯然的. 以 C > 0 為例,
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左邊 ln(x) 由 x→0+ 時的 -∞ 增至 x→+∞ 時的+∞
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而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 +∞. 因為左
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右兩邊都是連續函數, 因此必有交點; 又因嚴格單調性
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夜點唯一.
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上面 "C > 0" 是 "C < 0" 之誤.
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當 C > 0 時, 左右都是增函數, 但, 起點不同, 增速
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也不同, 需要比較細緻的觀察. 要找 F(x) = 0 的解,
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一般它和 F'(x) = 0 的解是兩回事. 不過, 此例
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F(x) = Cx^3 -ln(x), 當 x→0+ 時 F(x)→+∞, 而
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x→+∞ 時 F(x)→+∞. 因此, 若 F(x) = 0 有解而且
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是唯一解, 它必是 F(x) 的最低點, 因而 F'(x) = 0.
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所以才會找 F'(x) = 0 的解. 但要證明這是唯一解,
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除了它同時要滿足 F(x) = 0 (這才是原目標), 也要它
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是唯一的.
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當 C < 0 或 C = 0 時, 因 F(x) 是嚴格單調的, 不可
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能找到 F'(x) = 0 的解. 不過, 倒是可由 F'(x) 恆負
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確立其嚴格單調性, 而得 "至多一解" 的結論.
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再修正: 除第1列 C>0 修正為 C<0 以外, 第3列修正如
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次: 而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 -∞.
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太感謝你了哈哈 我了解了！ 原來關鍵在 F(x) 是最
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！
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